複素関数論 第 12 回小テスト解答例 問. 実積分 ∫ +∞ I= −∞ x2 担当: 南 1 dx +1 Im の値を、複素関数 R -R 1 f (z) = 2 z +1 C0 を右図のように下半平面をまわった経路について複素積分す ることで求めたい。C = C0 + CR とするとき、以下の問に順 に答えよ。ただし CR は半径 R > 1 の半円である。 Re CR (1) 閉曲線 C の内部にある f (z) の特異点と、その特異点における留数の値を答えよ。 z= −i が 1 位の極。したがって z+i 1 1 Res(−i; f ) = lim 2 = lim =− = z→−i z + 1 z→−i z − i 2i ∫ (2) 周回積分 i . 2 f (z) dz の値を求めよ。ただし、この経路は負の向きであることに注意せよ。 C 積分経路 C が負の向きであることに注意して、留数定理より ∫ ∫ f (z) dz = − f (z) dz = −2πi Res(−i; f ) = −C C ∫ (3) 半円 CR を偏角 θ を用いてパラメータ表示し、 π. f (z) dz を θ の積分で表せ。 CR Reiθ (0 ≧ θ ≧ −π ) と書けるので、dz = iRe dθ より ∫ −π ∫ iReiθ f (z(θ)) z (θ) dθ = dθ f (z) dz = 2 e2iθ + 1 R 0 iθ CR 上では z = ∫ CR ∫ (4) lim R→+∞ CR −π ′ 0 f (z) dz = 0 を示せ。 (3) より ∫ CR ∫ f (z) dz ≦ ∫ |f (z)| |dz| = CR R ≦ 2 R −1 ∫ 0 1 −π |R2 e2iθ + 1| · |iReiθ | dθ 0 πR → 0 (R → +∞). −1 −π ここで、三角不等式より |R2 e2iθ + 1| ≧ R2 e2iθ − | − 1| = R2 − 1 を用いた。 (5) 実積分 I の値を求めよ。 (2), (4) より dθ = R2 (∫ ∫ I = lim R→+∞ C0 = π − lim R→+∞ ∫ R→+∞ CR f (z) dz = π. ∫ − f (z) dz = lim C ) f (z) dz CR
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