レポート No.6 - So-net

No.6
数学Ⅲレポート
(2016)
1. （複素積分の実定積分への応用：その 1）
（定理 4.20）
f (z ) が Im( z )  0 で有限個の極 c1 , c 2 ,  , c N を持ち，実軸上に極を持たないとする．
0     で一様に R f ( R e i )  0 ( R  ) となるとき，次の関係が成立する．



N
f ( x )dx   f ( z ) dz  2i  Re s f ( z ) dz
C
j 1
z c j
積分路 C は Fig.1 に示すとおりである．
y
C
 c 
c

2

c
R
1
C2
R
N
C1
R
x
Fig.1 積分路 C  C 2 C1
（例）
つぎの実定積分を求めよ．
J 

ｰ
1
dx
x  2x  3
2
（解）
1
2
の極は z  2 z  3  0 より， z  1  i 2 である． Im( z )  0 の
z  2z  3
R
極は z  c1  1  i 2 である．また R f ( R e i ) 
 0 ( R  )
i 2
( R e )  2( R e i )  3
f ( z) 
2
である．よって
J 


ｰ
i
c1  1
1
1
1
dx  2i Res f ( z ) dz  2i lim ( z  c1 ) 2
 2i lim
z

c
z

c
z

c
1
1 2z  2
1
x  2x  3
z  2z  3
2



2
2

2
（問題）例を参考にしてつぎの実定積分を求めよ．

1
dx
x  2x  5
(1)

(2)
2x 2
ｰ x 4  1dx
(3)
(4)
(5)
ｰ
2



0
x2  4
dx
x 4  6x 2  5
2 x 2  3x  1
ｰ x 4  5x 2  4dx

1
ｰ x 8  1dx

( f (x ) は偶関数である．)

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