微分積分学 II 第 2 回目レポート課題解答例 2015 年 10 月 19 日出題 2-1 (1) ∂f (x, y) = 2x cos y, ∂x ∂f (x, y) = −(x2 + 1) sin y ∂y (2) ∂f (x, y) = yexy , ∂x ∂f (x, y) = xexy ∂y 2-2 (1) 原点での値が f (0, 0) であることから，定義より以下を得る． ∂f f (h, 0) − f (0, 0) 0−0 (0, 0) = lim = =0 h→0 ∂x h h ∂f f (0, k) − f (0, 0) 0−0 (0, 0) = lim = =0 k→0 ∂y k k (2) 原点以外での偏導関数は次のように得られる． ∂f 2y 4x2 y 2y(x2 − y 2 ) (x, y) = 2 − = − ∂x x + y2 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 2 ∂f 2x 4xy 2x(x2 − y 2 ) (x, y) = 2 − = ∂y x + y2 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 例えば，x 軸に沿って正の方向から原点に近付く点列 {(xn , 0)}n∈N ⊂ R2 , を考える．つまり，xn > 0 ∀n ∈ N かつ xn → 0 (n → ∞) である．このとき， ∂f (xn , 0) = 0 → 0 (n → ∞), ∂x ∂f 2 (xn , 0) = → ∞ (n → ∞) ∂y xn となり，∂f /∂x は 0 に収束するが ∂f /∂y は発散する．一方，y 軸に沿って正の方向から原点に近付く点列を考えれば，先ほどとは逆に ∂f /∂x は発散するが ∂f /∂y は 0 に収束する．これより， ∂f /∂x, ∂f /∂y はともにすべての近づき方に共通する収束値を持たない．つまり，原点において極限は存在しない． (3) 上記の結果より，f は全ての点で偏微分可能であるが，偏導関数は原点で連続とならない．つまり，全微分可能性の十分条件は満たさない．ただし必要条件ではないため，上記の結果だけでは全微分可能性を否定することはできない． 2-3 (1) 点 (1, 1) を通り，原点と点 (h, k) ∈ R2 を結ぶ直線に平行な直線は φ(t) = 1 + ht, ψ(t) = 1 + kt と媒介変数表示ができる．よって， d ∂f ∂f (f (φ(t), ψ(t))) = (φ(t), ψ(t))h + (φ(t), ψ(t))k dt ∂x ∂y ! " ! " = 6(1 + ht) + (1 + kt) h + (1 + ht) + 6(1 + kt) k 1 より，点 (1, 1) における方向微分係数 # # d (f (φ(t), ψ(t)))## = 7(h + k) dt t=0 (∗) を得る．これを最大にする方向を見つけるため，c = 7(h + k) とおく．これは，h-k 平面上の傾き −1 の直線の方程式とみなせ，c は k 軸と交わる際の k の値を 7 倍したものと解釈できる．一方， (h, k) は単位円上の点であるため，h2 + k 2 = 1 を満たす．よって，単位円上を通過するような傾き −1 の直線のうち，k 軸との交点が最大もしくは最小となるものを見つければよい．図 1 より， √ √ √ √ 最大は (h, k) = (1/ 2, 1/ 2) の方向であり，最小は (h, k) = (−1/ 2, −1/ 2) の方向となる．なお，最大値と最小値は符号が異なるだけで，絶対値は等しい． maximum minimum 図 1: 最大・最小を与える直線この結果の幾何学的意味についてもう少し説明しておく．関数 f のグラフとその等高線を図 2 に示す．グラフからは分かりづらいが，等高線を見ると，グラフの各断面は軸が 45◦ 傾いた楕円であることが分かる．問題 2-3 の結果から言えることは，点 (1, 1) において関数 f は，点 (1, 1) を通る等高線 √ √ に垂直な方向に値が最も変化することである．一方，等高線に接する方向 (h, k) = (±1/ 2, ∓1/ 2) （復号同順）については，方向微分係数の式 (∗) に代入すると方向微分係数は 0 となることが分かる．これは等高線の意味を考えると直観的に明らかである． 2 max 1 min 0 2 -1 1 -2 -1 0 0 1 -2 -1 -2 2 -2 図 2: 関数 f のグラフとその等高線 2 -1 0 1 2