Aufgaben zu Vorrechnen in den ¨Ubungen 19./20. April. Aufgabe 1

Aufgaben zu Vorrechnen in den Übungen 19./20. April.
Aufgabe 1
Ermitteln Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung von
a) f (x, y) = sin(xy 2 ) + ln x.
b) f (x, y, z) = arctan(cos x + sin y) + cosh z.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Funktion
(
f (x, y) =
xy 2
x4 +y 4
0
falls (x, y) 6= (0, 0)
falls (x, y) = (0, 0)
auf ganz R2 partielle Ableitungen besitzt und dass f unbeschränkt ist. Untersuchen Sie, in welchen
Punkten des R2 die Funktion f total differenzierbar ist.
Aufgabe 3
Es sei U ⊆ R3 offen. Wir nehmen an, dass die Funktion f : U → R in U stetige partielle Ableitungen
zweiter Ordnung besitzen. Zeigen Sie:
rot(grad f ) = 0.
Aufgabe 4
Eine Funktion f : C → C heißt komplex differenzierbar in z0 falls der Grenzwert
lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
z − z0
existiert, also falls es für jede Folge (zn ), zn 6= z0 mit limn→∞ zn = z0 gilt, dass
f (zn ) − f (z0 )
n→∞
zn − z0
lim
existiert und unabhängig von der Folge (zn ) ist.
Wir schreiben auch f mit real und imaginär Teil als
z = x + iy,
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).
Zeigen Sie, dass wenn f in z0 = x0 +iy0 komplex differenzierbar ist, dann gelten die Cauchy-Riemannsche
Differentialgleichungen
∂u
∂v
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
Hinweis:
und
∂u
∂v
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 )
∂y
∂x
f (z0 + n1 ) − f (z0 )
f (z0 + ni ) − f (z0 )
=
lim
.
n→∞
n→∞
z0 + n1 − z0
z0 + ni − z0
lim
Aufgaben vom Übungsblatt 1, falls Zeit.

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