Serie 10

Prof. Johanna F. Ziegel
Tobias Fissler
Anja Mühlemann
Wahrscheinlichkeitstheorie
Frühlingssemester 2015
Serie 10
1. Falls (Xn )n∈N eine Folge nicht-negativer Zufallsvariablen ist, die in Verteilung gegen
X konvergieren, dann gilt
E(X) ≤ lim inf E(Xn ) .
n→∞
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion f (x) = min{x, r} für r > 0.
2. Beweisen Sie folgende Aussage: Falls eine Folge von Zufallsvariablen (Xn )n∈N in
Verteilung gegen eine Konstante c ∈ R konvergiert, so konvergiert (Xn )n∈N auch in
Wahrscheinlichkeit gegen c.
3. Es sei (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen mit Xn ∼ BIN(n, pn ), d.h.
n k
P(Xn = k) =
p (1 − pn )n−k , k = 0, . . . , n.
k n
Wir nehmen an, dass limn→∞ pn = 0 und limn→∞ npn = α > 0. Zeigen Sie, dass
(Xn )n∈N in Verteilung gegen X konvergiert, wobei X ∼ POIS(α), d.h.
αk
, k = 0, 1, . . . .
k!
Hinweis: Verwenden Sie Lemma 7.3 der Vorlesung um zu argumentieren, dass es
genügt zu zeigen, dass für jedes k = 0, 1, . . . gilt
αk
n k
lim
pn (1 − pn )n−k = e−α .
n→∞ k
k!
P(X = k) = e−α
4. Beweisen Sie Satz 7.9 (C3): Ist E(|X|m ) < ∞ für ein m ∈ N, so ist ϕX m-fach stetig
differenzierbar und es gilt für k = 0, . . . , m
(k)
ϕX (t) =
∂k
ϕX (t) = ik E(X k eitX ),
∂tk
also insbesondere,
(k)
E(X k ) = i−k ϕX (0).
Abgabe: Freitag, 15.05.2015 vor Beginn der Vorlesung um 10:15.

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