siebte Übungszettel

WS 2016/2017
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis III
Blatt 7
Abgabe: 12.12.2016, 12:00
Aufgabe 19 (4 Punkte). Betrachten Sie den Maßraum (N, P(N), #) mit dem Zählmaß # und
eine Funktion f : N → [0, ∞]. Finden Sie eine einfache Darstellung für das Integral
Z
f d#
und beweisen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 20 (4 Punkte). Sei (X, A, µ) ein Maßraum.
i) Sei f : X → [0, ∞] eine µ-messbare Funktion.
a) Zeigen Sie
Z
Z
min(f, k) dµ =
f dµ.
lim
k→∞
b) Sei (Ek )k∈N eine Folge µ-messbarer Teilmengen von X mit Ek ⊂ Ek+1 für alle k ∈ N.
Zeigen Sie
Z
Z
lim
f χEk dµ =
f χSk∈N Ek dµ.
k→∞
Hierbei bezeichne χE : X → {0, 1} für E ⊂ X die charakteristische Funktion von E.
ii) Zu k ∈ N bezeichne fk : X → [0, ∞] eine µ-messbare Funktion. Zeigen Sie
Z X
∞ Z
∞
X
fk dµ.
fk dµ =
k=1
k=1
Zusatzaufgabe (2 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe eines geeigneten Gegenbeispiels, dass die
Aussage
in ii) nicht gilt für integrierbare fk : X → [−∞, ∞], selbst dann nicht, wenn
P
f
(x)
absolut konvergiert für alle x ∈ X.
k∈N k
Aufgabe 21 (4 Punkte). Seien (X, A, µ) ein Maßraum, f : X → [0, ∞] eine µ-messbare
Funktion und gelte
Z
lim sup f m dµ < ∞.
m→∞
Zeigen Sie, dass dann f (x) ≤ 1 gilt für fast alle x ∈ X.
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