Analysis 2 - Universität Leipzig

Universität Leipzig
24.05.2016
Analysis 2
Sommersemester 2016
Aufgaben, Blatt Nr. 7
Aufgaben 7-3 und 7-4 korrigiert
Abgabe: Dienstag, 31.05.2016 vor der Vorlesung, bitte Namen,
Matrikelnummer und Übungsgruppenzeit angeben!
7-1 Gegeben ist die Abbildung f : R2 −→ R mit
 2
1
2
 (x + y ) sin x2 +y2 ; (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =

0
; (x, y) = (0, 0)
Zeigen Sie:
(a) f ist differenzierbar.
(b) Die partiellen Ableitungen von f im Punkte (0, 0) sind nicht stetig.
7-2 Sei g : R −→ R stetig differenzierbar und f : (R − {0}) × R −→ R mit
f (x, y) = g xy für x 6= 0. Zeigen Sie, dass f stetig differenzierbar ist
und folgende Beziehung gilt für alle (x, y) ∈ (R − {0}) × R :
x
∂f
∂f
(x, y) + y
(x, y) = 0.
∂x
∂y
7-3 Sei g : (0, ∞) −→ R eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion und
f : Rn − {0} −→ R, f (x) = g (kxk) . Zeigen Sie, dass dann gilt:
∆f (x) = g 00 (kxk) +
n−1 0
g (kxk) .
kxk
7-4 Eine Funktion f : Rn − {0} −→ R heißt homogen vom Grad α, falls
für alle t > 0 und x ∈ Rn − {0} gilt: f (tx) = tα f (x). Wir nehmen an,
dass zusätzlich f zwei Mal stetig differenzierbar ist.
Beweisen Sie:
(a) Die partiellen Ableitungen von f sind homogen vom Grad β, und
bestimmen Sie diesen Grad.
(b) Für alle x ∈ Rn − {0} gilt: hgradf (x), xi = αf (x).
(c) Für alle x ∈ Rn − {0} gilt:
n
X
i,j=1
∂2f
(x) xi xj = α(α − 1)f (x).
∂xi ∂xj
Prof. Dr. Hans-Bert Rademacher
www.math.uni-leipzig.de/~rademacher/Analysis2.html

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