Partielle Ableitung: Mit anderen Worten:

Partielle Ableitung:
Definition: Für eine Funktion f (x1, x2, . . . , xn),
nennen wir jene Funktion, welche man
erhält, wenn man die Variable
x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn
festhält und nach der Variablen xi differenziert, die i−te partielle Ableitung der Funktion f
Wir schreiben:
∂f
(x1, . . . , xn)
∂xi
Mit anderen Worten:
Falls der Grenzwert
¯
f (x∗1 , . . . , x∗i−1 , x∗i + h, x∗i+1 , . . . , x∗n ) − f (x∗1 , . . . , x∗n )
∂f ¯¯
=
lim
h→0
h
∂xi ¯~x∗
existiert, so ist die Funktion f im Punkt
~x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n)t partiell nach der Variable xi
differenzierbar.
Definition: Die Funktion f (~x) heißt im Punkt
~x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n)t differenzierbar, falls es eine
Abbildung
∇f (~x∗) = (y1, . . . , yn) : Rn → R
gibt, sodass
f (~x∗ + ~s) − f (~x∗) − (y1, . . . , yn) · ~s
lim
=0
k~sk
k~sk→0
gilt.
Proposition: Wenn
f (~x)
im
Punkt
~x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n)t differenzierbar ist, so existieren die partiellen Ableitungen im Punkt
~x∗ und es gilt:
µ
¶
∂f ∗
∂f ∗
∇f (~x∗) =
(~x ), . . . ,
(~x )
∂x1
∂xn
Definition: Unter dem Gradientenvektor der
Funktion f : Rn → R an der Stelle ~x∗ versteht
man den Vektor


∂f
∗
x)
∂x1 (~
 ∂f ∗ 
 (~x ) 
∗
∂x2

gradf (~x ) = 


..


∂f
∗
(~
x
)
∂xn
Eigenschaften des Gradientenvektors:
• Der Gradientenvektor steht normal auf
die Niveaulinie von f an der Stelle ~x∗.
• Der Gradientenvektor zeigt in die Richtung des größten Anstiegs der Funktion
f an der Stelle ~x∗.
Richtungsableitung:
Unter der ersten Richtungsableitung der Funktion f : Rn → R an der Stelle P in Richtung ~h
versteht man den Ausdruck
∇f |P · ~h
Ist k~hk = 1, dann entspricht die erste Richtungsableitung dem Anstieg der Funktion f an
der Stelle P in Richtung ~h.
Jacobimatrix:
Unter der
F : Rn → Rm
Jacobi-Matrix

der
Funktion

f1(x1, . . . , xn)


..
F (x1, . . . , xn) = 

fm(x1, . . . , xn)
versteht man die folgende m × n−Matrix:

 ∂f
∂f1
1
x) · · · ∂xn (~x)
∂x1 (~

.. 
J(F ) =  ..

∂fm
∂fm
(~
x
)
·
·
·
x)
∂x1
∂xn (~
Bemerkung:
Für den Fall F : Rn → R gilt:
∇F (~x) = J(F (~x))

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