Blatt 3 - M15/Allgemeines

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Massimo Fornasier
Markus Hansen
WS 2015/2016
Blatt 3
Maß- und Integrationstheorie [MA2003]
Tutoraufgaben (02.11. - 06.11.2015)
T 3.1. Sei (R, B, µ) ein Maßraum über der Borel-σ-Algebra B. Für alle n ∈ N seien die Funktionen fn : [0, 1] → [0, 1] messbar mit fn (x) ≥ fn+1 (x) für alle n ∈ N und alle x ∈ [0, 1].
Ferner gelte limn→∞ fn (x) = 0 für alle x ∈ [0, 1]. Gilt dann
Z
lim
fn dµ = 0 ?
n→∞
[0,1]
Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
T 3.2. (Konvergenz)
(a) Geben Sie eine Folge messbarer Funktionen fn : [0, 1] → [0, ∞), n ∈ N, an, für die
Z 1
lim
fn (x) dx = 0,
n→∞
0
aber limn→∞ fn (x) = 0 für kein x ∈ [0, 1] gilt.
(b) Besitzt Ihr Beispiel eine Teilfolge fnk , für die limk→∞ fnk (x) = 0 für fast alle x ∈ [0, 1]
gilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
T 3.3. Geben Sie ein Beispiel einer Folge stetiger Funktionen fn : [0, 1] → R an, sodass das
punktweise Supremum supn∈N fn nicht stetig ist.
T 3.4. (Nicht-messbare Mengen nach Vitali)
Wir definieren über a ∼ b ⇐⇒ a−b ∈ Q eine Äquivalenzrelation auf R. Sei nun N ⊂ [0, 1]
eine Menge mit der Eigenschaft, dass sie für jede der zugehörigen Äquivalenzklassen genau
einen Repräsentanten enthält. Mit anderen Worten: Für jede reelle Zahl a existiert b ∈ N ,
so dass a − b ∈ Q. Zeigen Sie:
(a) Sind r, r0 ∈ Q mit r 6= r0 , so gilt N + r ∩ N + r0 = ∅.
S
(b) [0, 1] ⊂ r∈Q∩[−1,1] N + r ⊂ [−1, 2].
(c) Folgern Sie aus den Eigenschaften des Lebesgue-Maßes und den Teilaufgaben (a)
und (b), dass λ(N ) kein sinnvoller Wert zugewiesen werden kann, indem Sie sowohl
λ(N ) = 0 als auch λ(N ) > 0 zum Widerspruch führen.
Die Menge N erweist sich damit als nicht Borel-messbar, und sie liegt auch nicht in der
Vervollständigung der Borel-σ-Algebra.
Hausaufgaben (abzugeben bis zum 06.11.2015, 14 Uhr, im Briefkasten)
H 3.1. (Cantorsches Diskontinuum)
Wir betrachten die rekursiv definierten Intervalllisten In , wobei I0 = {[0, 1]} und
[ h 2
1 ih 1
2 i
In+1 =
a, a + b
a + b, b
3
3
3
3
[a,b]∈In
T
S
Dann heißt C = n∈N [a,b]∈In [a, b] Cantorsches Diskontinuum oder auch Cantor-Menge.
Zeigen Sie:
(a) C ist kompakt.
(b) λ(C) = 0
(c) C ist nirgends dicht; in diesem Fall bedeutet dies: C enthält kein offenes Intervall
als Teilmenge.
optionale Zusatzaufgabe: Zeigen Sie weiterhin
P
−j
mit xj ∈ {0, 2} für alle
(d) Jede Zahl x mit triadischer Darstellung x =
j∈N xj 3
j ∈ N gehört zu C. Folgern Sie: C ist überabzählbar. Beachten Sie: Im Allgemeinen
hat nicht jede Zahl eine eindeutige triadische Darstellung. Beispielsweise ist C 3 31 =
P
−j
j≥2 2·3 . Die Beschränkung auf Ziffern 0 und 2 eliminiert diese Mehrdeutigkeiten.
H 3.2. Wir betrachten die Funktionen f = χ[0,1] und g = χQ . Welche dieser Funktionen ist
(a) λ-fast überall stetig oder
(b) λ-fast überall gleich einer stetigen Funktion.
Impliziert eine dieser Eigenschaften die jeweils andere?
H 3.3. (lim inf und lim sup für Mengen)
Sei (S, A, µ) ein Maßraum. Ferner seien Mengen An ∈ A, n ∈ N, gegeben.
(a) (Borel-Cantelli-Lemma) Wir definieren
M1 = lim sup An = {x ∈ S : x ∈ An für unendlich viele Indizes n} =
n→∞
\ [
An .
m≥1 n≥m
Zeigen Sie: Unter der Annahme
P
n
µ(An ) < ∞ ist M1 eine Nullmenge.
(b) (Lemma von Fatou für Mengen) Wir definieren weiterhin
M2 = lim inf An = {x ∈ S : x ∈ An für alle Indizes n ≥ n0 (x)} =
n→∞
[ \
m≥1 n≥m
Dann folgt unter Verwendung des Lemmas von Fatou
µ lim inf An ≤ lim inf µ(An ).
n∈N
n→∞
An .

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