Summenzeichen, Streifenmethode, bestimmtes

GK Mathematik * K12
Summenzeichen, Streifenmethode, bestimmtes Integral
Bei den folgenden Aufgaben dürfen die folgenden Formeln Potenzsummen verwendet
werden (siehe auch mathematische Formelsammlung):
n
i =1
n
n ⋅ ( n + 1)
i=
2
i4 =
i =1
n
n ⋅ ( n + 1) ⋅ (2n + 1)
i =
6
n
2
i =1
n 2 ⋅ (n + 1) 2
i =
4
3
i =1
n ⋅ (6n 4 + 15n 3 + 10n 2 − 1)
30
1. Berechnen Sie die folgenden Summen!
345
a)
100
i =
i =1
200
b)
(150 − i ) =
c)
e)
( n 2 + 2n + 1) =
d)
i =100
100
( 2 i + 1) =
i =1
50
n =10
i2 − 1
=
100
100
( 2 n + 1) =
(Vorsicht!)
f)
i =1
n =1
(Vorsicht! Indizes!)
2. Weisen Sie die folgenden Gleichungen durch geeignete Umformungen nach!
50
a)
i =10
20
b)
i =0
100
c)
( i 2 + 2i + 1) =
( i 2 + 2i + 1) =
51
i 2 = 45141
i =11
20
i 2 + 2 ⋅[
i =1
( n3 − 1) = [
n =0
100
20
i ] + 21 = 3311
i =1
n3 ] − 101 = 25502399
n =1
3. Berechnen Sie nach der Streifenmethode die beiden folgenden bestimmten Integrale!
(Ermitteln Sie dazu zuerst Unter- und Obersumme!)
Fertigen Sie eine Skizze an und überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit einer geometrischen
Berechnung.
a)
3
0,5 x + 1 dx =
5
b)
1
6 − x dx =
0
Y
4. Berechnen Sie nach der Streifenmethode
das bestimmte Integral
2
4
4 − x dx .
2
0
2
Kennzeichnen Sie den zugehörigen
Flächeninhalt in der nebenstehenden
X
0
Zeichnung.
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Lösungen zum Aufgabenblatt „Summenzeichen, Streifenmethode, bestimmtes Integral“
345
i =
1. a)
i =1
100
b)
345 ⋅ 346
= 59685
2
( 2 i + 1) = 2 ⋅
i =1
100
i =1
200
(150 − i ) = 101 ⋅150 +
c)
i =100
200
i =1
15150 − 20100 + 4950 = 0
50
50
( n 2 + 2n + 1) =
d)
n =10
100 ⋅101
+ 100 = 10200
2
99
200 ⋅ 201 99 ⋅100
( − i) −
( − i ) = 15150 −
+
=
2
2
i =1
i + 100 ⋅1 = 2 ⋅
( n + 1) 2 =
n =10
51
i2 =
i = 11
51
i =1
i2 −
10
i =1
i2 =
51 ⋅ 52 ⋅103 10 ⋅11 ⋅ 21
−
=
6
6
45526 − 385 = 45141
100
e)
( 2 n + 1) = 100 ⋅ ( 2n + 1) = 200n + 100
i =1
100
f)
n =1
i2 − 1
i2 − 1
= 100 ⋅
= i2 − 1
100
100
3 −1 2
=
und
n
n
2i
; für die Untersumme sn bzw. Obersumme Sn gilt
n
n −1
n −1
2i
2 n −1 3
2
3
2 (n − 1) ⋅ n
sn =
f ( xi ) ⋅ ∆x =
[ 0,5 ⋅ (1 + ) + 1] ⋅ =
[ + 2 ⋅i ] = n ⋅ + 2 ⋅
=
n
n i =0 n n
n n
2
i =0
i =0
n −1
1
3+
=4−
n
n
n −1
n
n
2j
2
3
2
3
2 n ⋅ ( n + 1)
Sn =
f ( xi +1 ) ⋅ ∆x = [ 0,5 ⋅ (1 + ) + 1] ⋅ =
[ + 2 ⋅ j] = n⋅ + 2 ⋅
=
n
n
n
n n
2
i =0
j =1
j =1 n
n +1
1
3+
=4+
n
n
3. a) ∆x =
lim sn = lim Sn = 4
n →∞
n →∞
5−0 5
=
und
n
n
xi = 1 +
3
0,5 ⋅ x + 1 dx = 4
1
5i 5i
=
und f ( x) = 6 − x ist monoton fallend
n
n
n −1
n
n
n
5
5j 5
30 25 j
sn =
f ( xi +1 ) ⋅ ∆x =
(6 − x j ) ⋅ =
(6 − ) ⋅ =
( − 2 )=
n
n n j =1 n
n
i=0
j =1
j =1
30 25 n ⋅ ( n + 1)
n +1
12,5
12,5
n⋅
− 2⋅
= 30 − 12,5 ⋅
= 30 −12,5 −
= 17,5 −
n
n
2
n
n
n
n −1
n −1
n −1
n −1
5
5i 5
30 25i
Sn =
f ( xi ) ⋅ ∆x =
(6 − xi ) ⋅ =
(6 − ) ⋅ =
( − 2)=
n i =0
n n i=0 n n
i =0
i=0
30 25 ( n − 1) ⋅ n
n −1
12,5
12,5
n⋅
− 2⋅
= 30 − 12,5 ⋅
= 30 −12,5 +
= 17,5 +
n
n
2
n
n
n
b) ∆x =
lim sn = lim Sn = 17,5
n →∞
n →∞
xi = 0 +
5
0
6 − x dx = 17,5
4.
Y
2
4 − x 2 dx
4
0
2
∆x =
und
n
2
2i
xi =
n
X
0
f ( x) = 4 − x 2 ist in [0; 2]
monoton fallend
-2
-4
-4
n −1
sn =
i=0
f ( xi +1 ) ⋅ ∆x =
n
j =1
(4 − x j 2 ) ⋅
2
=
n
n
(4 −
j =1
-2
0
4 j2 2
)⋅ =
n2 n
2
8 8 j2
( − 3 )=
n
j =1 n
n
8
8 n ⋅ ( n + 1) ⋅ (2n + 1)
4 2n 2 + 3n + 1
− 3⋅
=8− ⋅
=
n n
6
3
n2
4
3
1
16 4
4
8 − ⋅ (2 + + 2 ) =
− −
3
n n
3
n 3 n2
n⋅
Sn =
n −1
i =0
f ( xi ) ⋅ ∆x =
n −1
i=0
(4 − xi 2 ) ⋅
2
=
n
n −1
(4 −
i=0
4i 2 2
)⋅ =
n2 n
n −1
8 8i 2
( − 3)=
n
i=0 n
8
8 ( n − 1) ⋅ n ⋅ (2n − 1)
4 2n 2 − 3n + 1
− 3⋅
=8− ⋅
=
n n
6
3
n2
4
3
1
16 4
4
8 − ⋅ (2 − + 2 ) =
+ −
3
n n
3
n 3 n2
n⋅
16
lim sn = lim Sn =
n →∞
n →∞
3
2
0
4 − x 2 dx =
16
3
4

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