Blatt 11

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. A. Mielke, Dr. A. Fauck, A. Stephan
S. Hensel, M. Radons, C. Sirotenko
Analysis I*
WiSe 2016/17
Übungsblatt 11
Schriftliche Abgabe: Dienstag 24. Januar 2017
Aufgabe 11.1 (1+2+2 Punkte) Sei a > 1 und x ∈ Q, x = pq , q ∈ N, p ∈ Z. Wir definieren
√ p
f : Q → R, f (x) = ax = ( q a) . Zeigen Sie:
a) f ist streng monoton wachsend,
b) lim f (x) = 1 (Hinweis: Übungsblatt 5),
x→0
c) für jedes R > 0 ist f auf [−R, R] gleichmäßig stetig.
Bemerkung: Damit ist also f stetig nach R fortsetzbar, d.h. für x ∈ R \ Q können wir
−x
ax := lim ay definieren. Für 0 < a < 1 setzen wir ax = a1
.
Q3y→x
Aufgabe 11.2 (2+2+3 Punkte) Sei b ∈ C \ {0}, k ∈ N und Fb,k : R2 → R definiert durch
k
Fb,k (x, y) = Re b(x + iy) .
Zeigen Sie, dass Fb,k negative Werte annimmt. Dazu können Sie wie folgt vorgehen:
a) Zeigen Sie die Aussage für Re b 6= 0 und k ungerade. (Hinweis: Suchen Sie für y = 0.)
b) Zeigen Sie die Aussage für Re b = 0 und k ungerade. Zeigen Sie dazu das
Re i(1+iε)k 6= 0 für ε hinreichend klein und betrachten Sie dann (x, y) = (x, εx).
c) Zeigen Sie die Aussage für k gerade. Schreiben Sie k = 2l ·m mit m ungerade. Folgern
Sie diesen Fall dann aus a) und b) indem Sie Fb,k (x, y) = Fb,m (x̃, ỹ) für geeignete
x, y, x̃, ỹ schreiben. (Hinweis: Schreiben Sie z̃ = x̃ + iỹ und benutzen Sie komplexe
Quadratwurzeln)
Bemerkung: Dies ist das fehlende Lemma zum Beweis der Argandschen Vermutung.
Aufgabe 11.3 (1+2+3 Punkte)
Es seien sin und cos die periodischen Funktionen mit sin2 + cos2 ≡ 1, sin0 = cos und
cos0 = − sin. Für n, m ∈ N definieren wir die Funktion Fn,m : R → R mittels
Fn,m (x) = xn sin(1/xm ) für x 6= 0
und
Fn,m (0) = 0.
a) Zeigen Sie, dass Fn,m : R → R stetig ist.
0 (x).
b) Zeigen Sie, dass Fn,m für alle x 6= 0 differenzierbar ist und berechnen Sie Fn,m
Zeigen Sie, dass für n ≥ 2 die Funktion Fn,m auch in x = 0 differenzierbar ist.
c) Für welche (n, m) ist Fn,m : R → R stetig differenzierbar?
Aufgabe 11.4 (2+2+2 Punkte) Zeigen Sie nur mit Hilfe der Definition, dass die folgenden
Funktionen f : R → R, g, h : ]0, ∞[ → R differenzierbar sind und bestimmen Sie die
Ableitungen
√
1
a) f (x) = xn ,
b) g(x) = n ,
c) h(x) = n x.
x
Zusatzaufgabe (3 Punkte)
Sei e := lim (1 + n1 )n . Zeigen Sie, dass für x ∈ R gilt lim (1 + nx )n = ex im Sinne von 11.1.
n→∞
n→∞
1
Übungsblatt 11
Die folgenden Aufgaben werden in den Übungen besprochen.
Aufgabe Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionen auf R differenzierbar sind:
(
(√
x2
für x ≥ 0,
x
für x ≥ 0,
a) f (x) = |x|;
b) g(x) =
c) h(x) =
√
2
−x für x ≤ 0;
− −x für x ≤ 0.
Aufgabe Sei f : R → R differenzierbar. Zeigen Sie: Gilt f 0 (b) 6= 0 für ein b, dann existiert
ein δ > 0, sodass für alle 0 < h < δ gilt das f (b) echt zwischen f (b − h) und f (b + h) liegt.
Gilt die Umkehrung dieser Aussage auch?
Aufgabe Sei f : R → R stetig und (falls existent)
F (x) =
f (x + h) − f (x − h)
.
h→0,h6=0
2h
lim
Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Ist f differenzierbar in x, so gilt f 0 (x) = F (x).
b) Existiert F (x), so ist f differenzierbar in x.
2

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