L. Frerick / M. Müller SoSe 2016 10.05.2016 4. Übung zur Analysis

L. Frerick / M. Müller
SoSe 2016
10.05.2016
4. Übung zur Analysis einer und mehrerer Veränderlicher
Abgabe: bis Dienstag, 24.5.16, 12:00 Uhr in Kasten E 11.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
H12: (8 Punkte)
Es seien α ≥ 0 und fα : [0, ∞) definiert durch

xα sin (π/x) , falls x > 0
fα (x) =
.
0,
falls x = 0
Für welche α ist fα differenzierbar an der Stelle x0 = 0? Für welche α existiert limx→0+ fα0 (x)?
H13: (8 Punkte)
2
Es sei f : R → R, f (x) = e−x · x2 − 1 . Bestimmen Sie die Nullstellen, kritischen Punkte und Monotoniebereiche von f sowie die lokalen Extrema, und geben Sie limx→∞ f (x) sowie limx→−∞ f (x)
an, sofern diese Limiten existieren.
H14: (2+4 Punkte)
Es seien I ⊂ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(i) Es sei f stetig auf I und differenzierbar auf ˚
I. Es gilt genau dann f 0 (x) = 0 für alle x ∈ ˚
I,
wenn f konstant ist.
(ii) Wenn C > 0 und α > 1 existieren mit
|f (x) − f (y)| ≤ C |x − y|
α
(x, y ∈ I) ,
dann ist f schon konstant.
H15: (3+4 Punkte)
(i) Zeigen Sie, dass der Mittelwertsatz für stetige f : [a, b] → R2 mit f : (a, b) → R2 differenzierbar
im Allgemeinen falsch ist.
(ii) Es sei f : [a, b] → Rn stetig und differenzierbar auf (a, b) . Beweisen Sie, dass es ein ξ ∈ (a, b)
gibt mit
|f (b) − f (a)| ≤ |f 0 (ξ)| (b − a) .
T
Hinweise: (i) Man betrachte f : [0, 2π] → R2 , f (x) = (sin (x) , cos (x)) .
(ii) Wenden Sie den Mittelwertsatz auf die Hilfsfunktion h : [a, b] → R an, die durch
h (x) = hf (x) , f (b) − f (a)i =
n
X
fν (x) (fν (b) − fν (a))
ν=1
gegeben ist. Verwenden Sie im Anschluss die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

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