R Adµ Universität Stuttgart Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung Prof. Guido Schneider Pfaffenwaldring 57 D–70569 Stuttgart Funktionalanalysis 2 Vorlesung im Sommersemester 2016 Übungsblatt 4 Aufgabe 4.1: Zeigen Sie: Erfüllt x ∈ C 0 ([0, T0 ] , D(A)) ∩ C 1 ([0, T0 ] , X) die Variation der Konstanten Formel, so ist t 7→ x(t) Lösung der Differentialgleichung ẋ = Ax + f (x). Aufgabe 4.2: Zeigen Sie, dass für x ∈ [a, b] der Raum H 1 eine Banachalgebra ist, d.h., es gibt ein Cn > 0, so dass für alle u, v ∈ H 1 gilt: kuvkH 1 ≤ C kukH 1 kvkH 1 . Verwenden Sie den Sobolevschen Einbettungssatz: Es gibt ein C2 > 0, so dass für alle u ∈ H 1 gilt: kukC 0 ≤ C2 kukH 1 , falls x ∈ [a, b]. b Aufgabe 4.3: Betrachten Sie den Operator L definiert durch (Lu)(x) = a(x)∂x2 u(x) − b(x)u mit a, b ∈ Cb0 mit a, b 2π-periodisch und inf x∈[0,2π] a(x) > 0 und inf x∈[0,2π] b(x) > 0. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Lumer-Philips, dass L eine stark stetige Halbgruppe in L2 definiert. Hinweis: Finden Sie ein äquivalentes Skalarprodukt bezüglich dem L dissipativ ist. Aufgabe 4.4: Betrachten Sie u̇k = λk uk mit λk = − ln(1 + |k|) + ik. Für welches t ≥ 0 ist die dazugehörige Halbgruppe differenzierbar bzw. m-mal differenzierbar im Raum ℓ1 ? Übungen am Freitag, den 13. Mai 2016
© Copyright 2024 ExpyDoc
