Beweis HDI

12 M
HDI
GFW
Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
Wir nehmen an, dass f stetig, nichtnegativ und streng
monoton steigend sei.
Die nebenstehende Abbildung zeigt einen möglichen
Kurvenverlauf von f.
Nach der Definition der Integralfunktion
x
Fa : x 6 ∫ f (t )dt
a
gibt Fa(x) den Inhalt der Fläche unter der Kurve y = f(x)
zwischen den Werten a und x an. Also ist Fa(x + h) die
Fläche unter der Kurve zwischen a und x + h.
Folglich veranschaulicht der Streifen in der Abbildung
die Differenz Fa(x + h) - Fa(x). Den Inhalt dieses
Streifens können wir nicht genau berechnen. Aber wir
können es näherungsweise tun, indem wir das Trapez
über dem Intervall [x; x + h] betrachten.
Nach der Formel für die Trapezfläche gilt:
1
ATrapez = h ⋅ [ f ( x) + f ( x + h) ]
2
In guter Näherung gilt:
Fa ( x + h) − Fa ( x) ≈
1
h ⋅ [ f ( x ) + f ( x + h) ]
2
x
x+h
Daraus folgt:
Fa ( x + h) − Fa ( x) 1
≈ [ f ( x ) + f ( x + h) ]
2
h
Für h → 0 gilt einerseits (linke Seite)
Fa ( x + h) − Fa ( x)
= Fa′ ( x)
lim
h
h →0
und andererseits (rechte Seite)
1
[ f ( x ) + f ( x + h) ] = f ( x )
lim
h →0 2
Für monoton fallende oder negative Funktionen gelten ähnliche Überlegungen. Mittels einfacher
Extremwertbetrachtungen lässt sich der Beweis auf alle stetigen Funktionen übertragen. Also gilt:
Fa′ ( x) = f ( x)
Spo.
x

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