Blatt 2 - Mathematik

Mathematisches Institut der Universität München
29.10.2015
Übungen zum Staatsexamen: Analysis
Aufgabe 10: (F12T3A5)
Gegeben sei die Matrix


1 −1 1
A =  1 −1 0  .
1 0 −1
Man bestimme ein Fundamentalsystem des homogenen Differentialgleichungssystems
x0 = Ax.
Aufgabe 11: (F10T3A1)
Man bestimme alle Lösungen des Systems von Differentialgleichungen


−1 1 −2
ẋ =  0 −1 4  x.
0
0
1
Hat das System eine stabile oder eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung?
Aufgabe 12: (H13T3A2)
Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem ẋ = Aa x mit der reellen 3×3−Matrix


−1 a 0
Aa =  −a 1 0 
1 0 a
wobei a ∈ R ein Parameter ist. Bestimmen Sie alle a ∈ R, für die es eine nichttriviale
Lösung x(t) gibt mit lim kx(t)k = 0.
t→∞
Aufgabe 13: (F11T1A2)
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Differentialgleichung
y 00 + 3y 0 = e4t
Aufgabe 14: (H15T2A2)
Betrachten Sie die Differentialgleichung
y 000 − 2y 00 + y 0 = e2x
a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für die zugehörige homogene Differentialgleichung.
b) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Ansatz eine spezielle Lösung der inhomogenen
Gleichung und geben Sie damit die allgemeine Lösung an.
c) Bestimmen Sie die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit
y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 0
Aufgabe 15: (H11T1A5)
Betrachten Sie die Differentialgleichung
ẋ = −3x + y + 2y 3
ẏ = −4x
und zeigen Sie die asymptotische Stabilität der Ruhelage (x∗ , y ∗ ) = (0, 0) sowohl durch
Linearisierung in (x∗ , y ∗ ) als auch durch Verwendung der Lyapunov-Funktion
V (x, y) = 4x2 − 2xy + y 2 + y 4
Aufgabe 16: (F10T2A5)
Betrachten Sie das System gewöhnlicher Differentialgleichungen
ẋ1 = −x2 + x1 (λ − (x21 + x22 )2 )
ẋ2 = x1 + x2 (λ − (x21 + x22 )2 )
mit einem positiven Parameter λ > 0.
a) Bestimmen Sie mithilfe von Polarkoordinaten x1 = r cos(ϕ), x2 = r sin(ϕ) alle
periodischen Lösungen sowie deren (minimale) Periode T > 0.
b) Bestimmen Sie für jede Lösung des Systems den Grenzwert lim |x(t)|.
t→∞
Aufgabe 17: (H11T2A5)
Die Gleichung des mathematischen Pendels mit Reibung lautet
y 00 (t) + εy 0 (t) + sin(y(t)) = 0
wobei ε > 0.
a) Überführen Sie diese Gleichung in das zugehörige System erster Ordnung der Form
v 0 (t) = f (v(t)) für den Vektor v = (y, y 0 ).
b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte des Systems aus (a).
c) Untersuchen Sie die kritischen Punkte auf Stabilität und Instabilität.
Aufgabe 18: (H04T2A4) Sei ε > 0 und w : Rn → Rn eine stetige p
Funktion mit
kw(x)k ≤ 21 kxk für alle x ∈ Rn mit kxk < ε, wobei kxk = k(x1 , ..., xn )k = x21 + ... + x2n
die euklidische Norm auf Rn bezeichne. Es sei weiter λ : [0, ∞[→ Rn eine Lösung der
Differentialgleichung
dx
= −x + w(x).
dt
Schätzen Sie
d
kλ(t)k2
dt
ab und folgern Sie aus Ihrem Ergebnis, daß aus kλ(0)k < ε stets
t→∞
kλ(t)k < ε für alle t > 0 sowie λ(t) −→ 0 folgt.

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