Prof. Dr. Martin Zirnbauer Charles Guggenheim Institut für theoretische Physik Universität zu Köln Klassische Theoretische Physik 2 – Übungsblatt 10 Abgabe bis 12.1.2016 Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~cg/ktp2 Aufgabe 10.1. Konforme Abbildungen Unter einer konformen Abbildung, f : M4 → M4 des Minkowski-Raums mit Skalarprodukt h , i, versteht man eine Abbildung, deren Differential Dp f : R4 → R4 eine winkeltreue Abbildung ist, das heißt hDp f (v), Dp f (w)i = Ω · hv, wi , für alle Vektoren v, w ∈ R4 und eine reelle Zahl Ω (Ω darf im Allgemeinen vom Punkt p ∈ M4 abhängen). a. Betrachten Sie nun eine Raum-Zeit-Dilatation (Streckung) S : M4 → M4 , p 7→ o + s(p − o), also Ω = s2 (6= 1 für den nicht-trivialen Fall). Zeigen Sie, dass S eine Lösung, in q 0 Form von F, G und J, der elektromagnetischen Theorie (dF = 0, dG = J, G = − µ0 ? F ) wieder auf eine Lösung abbildet. b. Interpretieren Sie diese Beziehung im Grenzfall der Elektrostatik. Aufgabe 10.2. Bremsstrahlung einer Punktladung Betrachten Sie ein geladenes Punktteilchen, welches in einem infinitesimalen Zeitintervall abgebremst wird. a. Zeichnen Sie diesen Vorgang in ein Raum-Zeit-Diagramm und interpretieren Sie den Vorgang im Hinblick auf die Ergebnisse in Aufgabe 10.1. Hinweis: Setzen Sie den Punkt des abrupten Bremsvorgangs in den Ursprung o ∈ M4 . Was geschieht nun unter der Transformation S? b. Wie sieht das alternative Szenario aus, in dem eine zunächst ruhende Punktladung instantan in den Zustand der gleichförmigen und geradlinigen Bewegung versetzt wird? Zeichnen Sie eine Skizze für das D-Feld und ein Raum-Zeit-Diagramm. Aufgabe 10.3. Bewegter Kondensator Betrachten Sie zwei unendlich ausgedehnte Kondensatorplatten mit Flächenladungsdichte ±σ. Diese befinden sich parallel zur xy-Ebene an den Stellen z = ± d2 . Nehmen Sie an, das System werde zum Zeitpunkt t = 0 instantan in den Zustand der gleichförmigen und geradlinigen Bewegung mit der Geschwindigkeit v = vex versetzt. a. Beginnen Sie mit der Betrachtung einer Platte und schreiben Sie die Ladungsdichte auf dieser Platte als σχplatte dvol . Geben Sie die Stromdichte j für diese Situation an. Machen Sie außerdem eine Skizze im Kettenbild. b. Bestimmen Sie aus der Wellengleichung 1 ∂2 ∂2 − B(z, t) = µ0 d ? j c2 ∂t2 ∂z 2 1 die magnetische Feldstärke B. Da die Platten in x und y Richtung unendlich ausgedehnt sind, können wir annehmen, dass sich die Felder nur in z Richtung ändern. Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 8.1 zur Anfangsbedingung B(z, t = 0) = 0 und diskutieren Sie, was beim Integral über die Ladungsdichte σχplatte dvol passiert. c. Was ergibt sich für B, wenn Sie beide Platten betrachten? Aufgabe 10.4. Skin-Effekt Betrachten Sie eine Grenzschicht zwischen einem metallischen Körper und dem Vakuum. Diese befinde sich in der yz-Ebene, wobei der Metallkörper in x > 0 und das Vakuum in x < 0 sei. Anstelle eines Wechelstroms innerhalb des Metalls wollen wir eine analoge Situation betrachten, in der eine elektromagnetische Welle aus dem Vakuum auf die Grenzschicht trifft. Das E-Feld ist beschrieben durch E(x, t) = E0 Re(ei(kx−ωt) )dy (wie in der Vorlesung werden hier komplexe Zahlen benutzt). Nehmen Sie außerdem an, dass die Zeitabhängigkeit lediglich vom Faktor e−iωt kommt (stationäre Situation). a. Benutzen Sie die Maxwell Gleichungen und das Ohmsche Gesetz, j = σ ? E, um eine Gleichung für E innerhalb des Metallkörpers aufzustellen. b. Lösen Sie die in Teil a) gefundene Gleichung mit einem Ansatz der Form E ∝ ei(kx−ωt) dy. Geben Sie die physikalisch sinnvolle Lösung von E für x > 0 an. Wie groß ist die Eindringtiefe λ (Eindringtiefe ist die Länge, auf der die Amplitude um den Faktor 1/e verringert wurde)? Hinweis: (1 + i)2 = 2i c. Berechnen Sie die an der Grenzfläche reflektierte Welle durch Lösen der Anschlussbedingungen an der Grenzfläche. Aufgabe 10.5. Fourier-Reihen a. Zeigen Sie die Euler-Formel eiθ = cos(θ) + i sin(θ). Hinweis: Sie können zum Beispiel die Reihendarstellung der Exponentialfunktion betrachten. b. Bestimmen Sie die Fourierreihe des Rechteckpulses ( c für 0 ≤ x < π f (x) = −c für π ≤ x ≤ 2π , wobei f 2π-periodisch fortgesetzt werden soll. Aufgabe 10.6. P-Q-Formeln In der Vorlesung haben Sie den Multiplikationsoperator Q und den Ableitungsoperator P auf einer Funktion f ∈ C m (R) kennengelernt: (Qf )(x) = x · f (x) , 1 d (P f )(x) = f (x) . i dx n f = Qn f˜, für m ≥ n. a. Zeigen Sie die Relation Pg Hinweis: Zeigen Sie den Fall n = 1 und benutzen Sie vollständige Induktion. 2 f = −P g̃ b. Überzeugen Sie sich, anhand einer expliziten Rechnung, von der Relation Qg 2 für die Gauß-Funktion g(x) = x √1 e 2 2π . Aufgabe 10.7. Faltung Seien f, g zwei Funktionen auf R, dann ist die Faltung f ∗ g definiert durch: Z f (x − y)g(y)dy . f ∗ g(x) = R a. Zeigen Sie Aussage (i) des Faltungssatzes f] ∗g = √ 2π f˜ · g̃. b. Bestimmen Sie die Faltung g1 ∗ g2 zweier Gauß-Funktionen g1 (x) = und g2 (x) = 2 2 1 √ e−(x−x2 ) /4σ2 . σ2 2π Aufgabe 10.8. 2 2 1 √ e−(x−x1 ) /4σ1 σ1 2π Eindimensionale Wärmeleitung In dieser Aufgabe soll die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung ∂t f (x, t) = D∂x2 f (x, t) , mit Diffusionskonstante D, mithilfe der Fourier Transformation gelöst werden. a. Machen Sie eine Fourier Transformation der obigen Gleichung in der Ortsvariablen x (Sie können Ergebnisse der vorigen Aufgaben/Vorlesung verwenden). Lösen Sie die erhaltene Differentialgleichung für die Anfangsbedingung f˜(k, t = 0) = ũ(k). 2 b. Bestimmen Sie die Rücktransformation F −1 e−Dk t . c. Benutzen Sie den Faltungssatz, um die Lösung f (x, t) zur Anfangsbedingung u(x) in Form eines Faltungsintegrals G ∗ u anzugeben. Die Funktion G heißt Greensche Funktion der obigen partiellen Differentialgleichung. Bei der Lösung des Poisson Problems haben Sie bereits eine Greensche Funktion für eine andere Differentialgleichung kennengelernt. 3