Prof. U. Gerland Theory of Complex Biosystems Physik Department, TUM Statistische Mechanik und Thermodynamik (4A) WS 2015/16, Blatt 7 (23. November 2015) Aufgabe 1: Gibbs-Duhem Beziehung In der Vorlesung wurde die Gibbs Freie Energie G = E − T S + pV eingeführt. (a) Zeigen Sie durch Ausschreiben der Differentiellen Beziehungen dass G = G(T, p, N ) eine Funktion von Temperatur, Druck und Teilchenzahl ist. Bestimmen Sie S, V und µ aus Ableitungen von G. (b) Zeigen Sie, dass für die Gibbs Freie Energie gilt G = µN . Hinweis: Benutzen Sie, dass G extensiv sein muss, also G(T, p, λN ) = λG(T, p, N ). (c) Aus den obigen Ergebnissen leiten Sie V S dT + dp N N her. Diese Beziehung heisst Gibbs-Duhem-Beziehung und enthält nur intensive Grössen. dµ = − Aufgabe 2: Osmotischer Druck Betrachten Sie eine Lösung, die aus N 0 Molekülen einer gelösten Substanz (z.B. Salz) und N Lösungsmittelmolekülen (z.B. Wasser) besteht. Die Lösung befindet sich in einem Gefäß mit Volumen V . Die Konzentration der Lösung sei definiert als c = N 0 /N. Für eine verdünnte Lösung (c 1) nehmen Sie im Folgenden an, dass das chemische Potential des Lösungsmittels in Anwesenheit des gelössten Stoffes näherungsweise als µ(p, T ) = µ0 (p, T ) − kB T c geschrieben werden kann. (a) Stellen Sie sich ein Gefäß mit einer semipermeablen Membran vor, durch die nur Lösungsmittelmoleküle diffundieren können. Die Konzentration der gelösten Substanz sei c1 auf der linken Seite und c2 auf der rechten Seite der Membran (Siehe Abbildung). Im Gleichgewicht gilt für das Lösungsmittel µ1 = µ2 . Zeigen Sie, dass der Druck auf die Membran (der osmotische Druck ) gegeben ist durch, N kB T. V Diese Beziehung heisst van’t Hoff Gleichung und sagt, dass der osmotische Druck als Partialdruck der gelössten Substanz interpretiert werden kann. Hinweis: Für ( ∂µ ∂p )T benutzen Sie Aufgabe 1. Nehmen Sie ausserdem an, dass N/V für das Lösungsmittel auf beiden Seiten näherungsweise gleich ist. Π = (c1 − c2 ) (b) Der osmotische Druck von Blut bei Körpertemperatur (37◦ C) ist Πb = 7.65 atm. Rote Blutkörperchen (RBCs) in einer hypertonischen Lösung (Π > Πb ) schrumpfen zusammen. In einer hypotonischen (Π < Πb ) Lösung hingegen dehnen sich RBCs aus und platzen (siehe Abbildung). Wieviel Glukose (C6 H12 O6 ) pro Liter wird für eine isotonische Lösung benötigt, die mit dem osmotischen Druck von Blut übereinstimmt? 1 Aufgabe 3: Monte Carlo Integration (a) Schreiben Sie einen Pseudocode für die Berechnung der Fläche eines Einheitskreises durch Monte Carlo Integration. (b) Implementieren Sie den Pseudocode in einer Programmiersprache Ihrer Wahl und plotten Sie den Schätzwert als Funktion von der Zahl N der zufälligen Punkte. Wie skaliert der relative Fehler mit N? Aufgabe 4: Van der Waals Gas Die Zustandsgleichung für ein van der Waals Gas ist gegeben durch a P + 2 (v − b) = kB T, v (1) wobei v = V /N das spezifische Volumen ist. (a) Wie hängt die spezifische freie Energie f (T, v) des van der Waals Gases von dem spezifischen Volumen v ab? (b) Leiten Sie f (T, v) her, indem Sie ihr Ergebnis aus (a) mit dem Ausdruck für die spezifische freie Energie eines idealen einatomigen Gases bei großen v vergleichen, fid (T, v) = −kB T log (λ−3 v), mit λ = √ h 2πmkB T (2) Zwischenergebnis: f (T, v) = −a/v − kB T log (λ−3 (v − b)) (c) Berechnen Sie den thermischen Ausdehnungskoeffizienten α = v −1 (∂v/∂T )P , die isochore und isobare Wärmekapazität CV und CP und die isotherme und adiabatische Kompressibilität κT und κS . 2