D-MATH Prof. Dr. M. Schweizer Mass und Integral FS 2015 Serie 8 1. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum mit µ(Ω) < ∞ und L0 (µ) die Menge aller Äquivalenzklassen von messbaren Funktionen f : Ω → . Betrachten Sie die Abbildung R R d : L0 (µ) × L0 (µ) → , Z |f − g| dµ . (f, g) 7→ 1 + |f − g| Zeigen Sie: a) d ist eine Metrik auf L0 (µ). b) fn → f µ-stochastisch ⇐⇒ limn d(fn , f ) = 0. 2. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum und f : Ω × (a, b) → alle t ∈ (a, b) die Abbildung Ω 3 ω 7→ f (ω, t) R µ-integrierbar ist. Sei dann K(t) := f (ω, t) dµ. R eine Abbildung, so dass für Nehmen Sie an, dass eine Menge A ∈ A mit µ(Ac ) = 0 existiert, für die gilt, dass die Abbildung t 7→ f (ω, t), ω ∈ A, differenzierbar auf (a, b) ist. Nehmen Sie auch an, dass |f 0 (ω, t)| ≤ g(ω), ω ∈ A, t ∈ (a, b) mit g in L1 (µ) gilt. Zeigen Sie, dass für t ∈ (a, b) die Funktion K(t) differenzierbar mit Z 0 K (t) = f 0 (ω, t) dµ ist, d.h. d dt Z Z f (ω, t) dµ = d f (ω, t) dµ . dt Bitte wenden! 3. Seien (Ω, A, µ) ein Massraum und u ∈ L0 (µ). a) Nehmen Sie µ(Ω) < ∞ an und zeigen Sie, dass lim kukp = kuk∞ p→∞ gilt. b) Sei jetzt Ω nur µ-σ endlich. Wie sollte man die vorherige Gleigchung modifizieren? • Vorbesprechung: Diese Serie wird am 17.04.2015 in den Übungen vorbesprochen. • Abgabetermin: Bis 22.04.2015, 12 Uhr, im Vorraum zum HG F 28. • Testatbedingung: Keine; der Inhalt der Übungen gehört aber auch zum Prüfungsstoff. • Präsenz: Mo, Mi und Do ist die Präsenz im HG G 19.1 oder HG G 19.2 zwischen 12 und 13 Uhr. Dort werden fachliche Fragen zur Vorlesung und den Übungen beantwortet. Übungsgruppen Assistent Alexandru-Dumitru Paunoiu Igor Uljarevic José Luis Hablützel Aceijas Louis Correia Soares Ort HG D 5.1 (EN) HG E 33.5 (EN) HG D 3.3 (DE) HG D 3.1 (DE) Zeit Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Informationen zur Vorlesung und den Übungen sind unter: http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/math/massuint Bei Fragen zu den Übungen oder dem Übungsbetrieb wendet euch an: Luca Galimberti, [email protected].