Blatt 3

L. Frerick / M. Müller
SoSe 2016
03.05.2016
3. Übung zur Analysis einer und mehrerer Veränderlicher
Abgabe: bis Dienstag, 10.5.16, 12:00 Uhr in Kasten E 11.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
H8: (8 Punkte)
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und geben Sie die Ableitung an.
(i) tan : C\ {π/2 + kπ : k ∈ Z} → C,
(ii) cot : C\ {kπ : k ∈ Z} → C,
(iii) tanh : C\ {iπ/2 + kiπ : k ∈ Z} → C, z 7→
(iv) coth : C\ {kiπ : k ∈ Z} → C, z 7→
sinh(z)
cosh(z) ,
cosh(z)
sinh(z) .
H9: (8 Punkte)
Die Funktionen tan : (−π/2, π/2) → R, cosh : (0, ∞) → (1, ∞), sinh : R → R und tanh : R → (−1, 1)
sind allesamt bijektiv. Ihre Umkehrfunktionen bezeichnet man mit arctan (Arkustangens), Arcosh
(Areakosinus Hyperbolicus), Arsinh (Areasinus Hyperbolicus) und Artanh (Areatangens Hyperbolicus). Untersuchen Sie diese Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie deren Ableitung.
H10: (6 Punkte)
Es seien n ∈ N, A ⊂ K so, dass jeder Punkt von A ein Häufungspunkt von A ist, f : A → Kn mit
T
f = (f1 , . . . , fn ) , wobei fν : A → K, 1 ≤ ν ≤ n, und x0 ∈ A.
(i) Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) f ist differenzierbar in x0 .
(2) fν ist differenzierbar in x0 für alle 1 ≤ ν ≤ n.
T
In diesem Falle gilt f 0 (x0 ) = (f10 (x0 ) , . . . , fn0 (x0 )) .
Hinweis: Verwenden Sie ohne weiteren Beweis, dass für eine Funktion g : A → Kn mit g =
T
(g1 , . . . , gn ) , wobei gν : A → K, 1 ≤ ν ≤ n, limx→x0 g (x) genau dann existiert, wenn
T
(limx→x0 g1 (x) , . . . , limx→x0 gn (x)) existiert, und dass in diesem Fall
T
lim g (x) =
x→x0
lim g1 (x) , . . . , lim gn (x)
x→x0
x→x0
ist.
(ii) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f : C\ {0} → C3 , z 7→
1/z 2 , iz
· eiz , sin (1/z)
T
.
H11: (5 Punkte)
(i) Es sei f : (0, ∞) → K. Zeigen Sie, dass limx→0 f (1/x) genau dann existiert, wenn limy→∞ f (y)
existiert, und dass dann limx→0 f (1/x) = limy→∞ f (y) gilt.
(ii) Es sei f : R → R, definiert durch

exp (−1/x) , falls x > 0
.
f (x) :=
0,
falls x ≤ 0
Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

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