Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Apl. Prof. Dr. W. Rump, Dr. E. Navayazdani, K. Heil Mathematik II für Informatiker und Softwaretechniker SS 2016 Gruppenübung 1 Aufgabe 1 [ Differenzenquotient ] √ Gegeben sei die Funktion f (x) = (x2 +1)7 +4 3x2 + 5 mit x ∈ R. Bestimmen Sie mit Hilfe Pn−1 0 n n des Differenzenquotienten die Ableitung f (Hinweis: a − b = (a − b) k=0 ak bn−k−1 ). Verifizieren Sie Ihre Lösung durch direktes Ableiten. Aufgabe 2 [ Differenzierbarkeit ] Für welche Werte der Parameter a, b ∈ R ist die folgende Funktion f auf R differenzierbar? Skizzieren Sie f für (a, b) = (2, 2) und (a, b) = (1, 2). ( ( x2 + ax + b für x > 0, ax2 + x + b für x > 0, a) f (x) = b) f (x) = 1 + e2x sonst. 1 + e2x sonst. Aufgabe 3 [ Ableitungsregeln ] Die Funktionen f und g erfüllen f (2) = 3 , f 0 (2) = 1 , g(2) = −2 , g 0 (2) = 5 und g 0 (3) = 4 . Bestimmen Sie: 0 a) (f g) (2) , b) 0 f (2) , g c) (g ◦ f )0 (2). Aufgabe 4 [ Ableitung komplexwertiger Funktionen ] a) Berechnen Sie die Grenzwerte sin h cos h − 1 und lim h→0 h h→0 h mittels Potenzreihenentwicklung. Interpretieren Sie diese Grenzwerte als Ableitungen geeigneter Funktionen an der Stelle 0. b) Berechnen Sie die Ableitungen von sin x und cos x für beliebiges x mittels Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. (Additionstheoreme verwenden!) c) Wir definieren (f + ig)0 := f 0 + ig 0 für reelle Funktionen f und g. Berechnen Sie (eix )0 und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Formel für die Ableitung von eax für a ∈ R. lim Aufgabe 5 [ schriftlich, 3+3+4 Punkte ] Gegeben seien die Funktionen f (x) = arctan(ln(1 + x2 )) und g(x) = xex + √ 4x + 1. Bestimmen Sie a) f 0 (x), b) g 0 (x) und c) die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion h an der Stelle x0 = 0, wobei h(x) := xf (x) + g(x). 1 Termin: 11/12.04.2016. Abgabetermin 18/19.04.2016