Prof. Dr. Karl Friedrich Siburg Dr. J¨ org Horst SS 2015 ¨ 6. Ubungsblatt zur H¨ oheren Mathematik II (P/MP/ET/IT/I-I) Keine Abgabe. Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen und u ufen Sie das Konvergenzverhalten am Rand des Konvergenzkreises bzw. Kon¨berpr¨ vergenzintervalls. ∞ ∞ X X 22n+3 n+1 (−1)n n a) z , z ∈ C , b) x , x ∈ R. n2 + 2n 3n (n + 1) n=1 n=0 Aufgabe 2 L¨osen Sie die nachstehenden unbestimmten Integrale durch geschicktes Umformen des Integranden bzw. durch Substitution. Z Z Z 3x − 2 x4 t3 a) dx , b) dx , c) dt . x4 1 + x2 t8 + t4 + 1 ¨ Aufgabe 3 Uberpr¨ ufen Sie die Existenz des uneigentlichen Integrals Z1 0 1 p dx x(1 − x) und bestimmen Sie ggf. seinen Wert. Aufgabe 4 Gegeben sei die Funktion f : R2 → R mit  2  xy , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 4 .  0 , (x, y) = (0, 0) a) Ist f stetig auf R2 ? b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂f ∂f und auf R2 . Ist f stetig ∂x ∂y differenzierbar? c) Berechnen Sie ∂ 2f ∂ 2f (0, 0) und (0, 0), falls m¨oglich, und vergleichen Sie ∂y∂x ∂x∂y die Ergebnisse. d) Berechnen Sie die totale Ableitung Df (x, y) f¨ ur (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. e) Zeigen Sie die Existenz aller Richtungsableitungen f) Ist f im Nullpunkt total differenzierbar? ∂f (0, 0) im Punkt (0, 0). ∂~v Aufgabe 5 Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion F mit Z2x F (x) = sin x2 + y dy ln x auf dem Intervall (0, ∞), indem Sie a) das Integral berechnen, b) die Leibnizsche Regel anwenden. Aufgabe 6 Gegeben sei die Funktion f : G → R durch f (x, y) = x2 + y 2 − y + 1 4 mit G = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0 . a) Bestimmen Sie die Lage und den Wert der lokalen Extrema von f im Inneren von G. b) Untersuchen Sie f auf dem Rand ∂G, indem Sie die Randkurven von ∂G parametrisieren und dann jeweils f auf den einzelnen Randkurven betrachten. Pr¨ asenzaufgabe 6 fu ¨ r die Globalu ¨ bung (28.05.2015) Erkl¨aren Sie folgenden scheinbaren Widerspruch: Die Ableitung ist eine lineare Abbildung, aber f¨ ur f : R → R mit f (x) = x3 ist f 0 (x) = 3x2 nicht linear.