¨ MUNCHEN ¨ TECHNISCHE UNIVERSITAT Zentrum Mathematik Prof. Dr. Simone Warzel Mathematik 3 f¨ ur Physiker Dr. Michael Pr¨ ahofer (Analysis 2) MA9203 Sommersemester 2015 Blatt 5 (15.05.2015) Zentralu ¨ bung Z5.1. Multinomische Formel F¨ ur p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Nn0 setzen wir |p| := p1 + · · · + pn , p! := p1 ! · · · pn ! und f¨ ur x ∈ Rn p1 pn p sei x := x1 · · · xn . n+1 (a) F¨ ur alle n, k ∈ N ist {q ∈ Nn+1 : p ∈ Nn0 , |p| = k−l}. 0 , |q| = k} = {(p1 , . . . , pn , l) ∈ N0 . (b) |{p ∈ Nn0 , |p| = k}| = n+k−1 k (c) F¨ ur p ∈ Nn0 , |p| = k, ist |{f : {1, .. , k} → {1, .. , n} : |f −1 (j)| = pj , j = 1, . . . , n}| = P k! p (d) F¨ ur alle n, k ∈ N ist (x1 + · · · + xn )k = ¨ber n). p! x (mit Induktion u k! p! . p∈Nn 0 |p|=k Z5.2. H¨ ohere Richtungsableitungen Sei f : R2 → R dreimal stetig differenzierbar, a, v ∈ R2 . Dr¨ ucken Sie die k-te Richtungs(k) ableitung ∂v f (a) durch die partiellen Ableitungen von f aus, k = 1, 2, 3. Tutoraufgaben T5.1. Differenzierbarkeit ( Sei f : R2 → R definiert durch f (x, y) = xy x2 −y 2 , x2 +y 2 0, (x, y) 6= 0, (x, y) = 0. (a) Berechnen Sie ∂1 f, ∂2 f : R2 → R und zeigen Sie, dass beide Funktionen stetig sind. (b) Berechnen Sie ∂1 ∂2 f, ∂2 ∂1 f : R2 → R und zeigen Sie, dass beide Funktionen nur auf R2 \ {0} u ¨bereinstimmen. T5.2. Kurven entlang H¨ ohenlinien skalarer Funktionen Sei f : U → R stetig differenzierbar, U ⊂ Rm offen und x : [a, b] → U eine Kurve. Man zeige: ∇f (x(t)) ⊥ x(t) ˙ f¨ ur alle t ∈ [a, b], genau dann, wenn f (x(t)) = const f¨ ur alle t ∈ [a, b]. T5.3. Mittelwertsatz der Differentialrechnung im Rn . Sei f : U → R differenzierbar, U ⊂ Rn offen und x, y ∈ U , so dass auch die Verbindungsstrecke λx + (1 − λ)y ∈ U f¨ ur alle λ ∈ [0, 1]. Dann gibt es ein λ ∈ [0, 1], so dass f¨ ur z := λx + (1 − λ)y gilt: f (y) − f (x) = ∇f (z) · (y − x). Hausaufgaben H5.1. H¨ ohenlinien und Gradienten Sei f : R2 → R, f (x, y) = x2 − y 2 . (a) Skizzieren Sie gradf und die H¨ ohenlinien von f . (b) Bestimmen Sie die Tangente an die H¨ohenlinie durch den Punkt (x0 , y0 ) 6= 0 und zeigen Sie, dass sie senkrecht auf dem Gradienten an diesem Punkt steht. (c) Geben Sie L¨ osungen des AWP xy˙˙ = gradf (x, y), x(0) = 1, y(0) = 1 an und skizzieren Sie die Spur dieser Kurve. H5.2. Eine differenzierbare Funktion, die nicht stetig partiell differenzierbar ist 3 1 ur (x, y) 6= 0, f (0, 0) = 0. Zeigen sie, dass Sei f : R2 → R, f (x, y) = (x2 + y 2 ) 2 sin x2 +y 2 f¨ f (total) differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar ist. Wegen Pfingsten: Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 22.5., zu Beginn der Vorlesung oder bis 12:00 im Briefkasten, Keller FMI-Geb¨aude.