FR 6.1 - Mathematik Univ.-Prof. Dr. Thomas Schuster M.Sc. Julia Seydel Wintersemester 2015/16 9. Übungsblatt zur Höheren Mathematik für Ingenieure 3 Aufgabe 1 Sei f : R2 → R gegeben durch 2+3=5 Punkte f (x, y) = |xy|. In welchen Punkten ist f partiell bzw. total differenzierbar? Berechnen Sie in den entsprechenden Punkten die partielle bzw. totale Ableitung von f . Aufgabe 2 1+1+3+1=6 Punkte Um das viele Essen an den Weihnachtsfeiertagen zu verdauen, macht Herr N. eine Wanderung in einem Gebiet in den Vogesen, dessen Topografie durch die Funktion f (x, y) = x2 y − xy 2 + 3xy − 5x2 + 10x + 5y 2 − 40y + 500 gegeben ist, wobei x, y ∈ [0, 10] Koordinaten (in Kilometern) sind und f (x, y) die Höhenmeter angibt. In den ersten zwei Stunden, t ∈ [0, 2] in Stunden, verläuft sein Wanderweg entlang des Wegs ! ! 4t − t2 x c(t) = = . 6 − 2t y (i) Bestimmen Sie den Gradienten von f . (ii) Zeigen Sie, dass x = 5 und y = 5 zwei sogenannte Höhenlinien sind dadurch, dass Sie ausrechnen, dass f dort konstant ist. Zeigen Sie außerdem, dass der Gradient senkrecht auf den Tangentenvektoren der Höhenlinien steht. (iii) Bestimmen Sie sowohl Herrn N.’s Wandergeschwindigkeit als auch seine momentane Wanderrichtung r(t) zum Zeitpunkt t. Berechnen Sie den Anstieg des Wanderwegs bei t = 1, also die Richtungsableitung von f in Wanderrichtung bei c(1). (iv) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f ◦ c mithilfe der Kettenregel. Was ist Herrn N.’s Anstiegsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1? 1 Aufgabe 3 Es sei 2+2+1=5 Punkte M := {(x, y) ∈ R2 |x = y und x 6= 0}. Außerdem sei die Funktion f : R2 → R gegeben durch ( ex − 1, 0, f (x, y) = (x, y) ∈ M, (x, y) ∈ / M. Zeigen Sie: (i) f ist in (x, y) ∈ R2 genau dann partiell differenzierbar, wenn (x, y) ∈ / M gilt. (ii) Die Richtungsableitung Dν f (0) von f in 0 existiert für jedes ν ∈ R2 mit kνk = 1. (iii) Es gibt ein ν ∈ R2 mit kνk = 1 und Dν f (0) 6= hν, ∇f (0)i. Woran könnte das liegen? Aufgabe 4 Die Funktion f : R2 → R sei gegeben durch s f (x, y) = 3 2+2=4 Punkte x2 + 2 cos(π(x + 2y)). y Außerdem betrachten wir den Punkt (2, 1) ∈ R2 . (i) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen von f . Berechnen Sie ∇f (2, 1) und vereinfachen Sie dabei soweit wie möglich. (ii) Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt (2, 1, f (2, 1)). Berechnen Sie dazu z̄ = f (2, 1) und beachten Sie, dass der Punkt (2, 1, z̄) in der Tangentialebene liegen muss. Wie sieht die Gleichung der Tangentialebene an f in (2, 1, z̄) in der Form z = ax + by + c (a, b, c ∈ R) aus? Abgabe: Donnerstag, 7.1.2016 bis 8.30 Uhr Wir wünschen Ihnen ***Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr*** 2