線 y = 1 2 a = log 2 3

年番号
1
座標平面において曲線 y = k(1 ¡ x2 ) ¡ 1（ k は正の定数）を C1 とし，曲
3
線 y = 1 ¡ x を C2 とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
氏名
3 辺の長さが AB = 3，BC = 5，CA = 7 の三角形 ABC がある．辺 AB，
BC，CA 上の点 P，Q，R を，AP = BQ = CR = x となるようにとる．た
だし，0 < x < 3 である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) C1 は k の値によらない定点を通る．この定点の座標をすべて求めなさい．
(2) C1 と C2 が共有点をもつような正の定数 k の値の範囲を求めなさい．
(1) ÎABC の値を求めよ．
(3) 正の定数 k が (2) で求めた範囲にあるとき，C1 と C2 の共有点の個数を求
(2) 三角形 BPQ の面積を x の式で表せ．
めなさい．
(3) 三角形 PQR の面積が最小となるときの x の値を求めよ．
（首都大学東京 2015 ）
2
a = log2 3，b = log2 5 とする．このとき 2¡2a+b+1 と 22a¡3 の値を求めると
(2¡2a+b+1 ; 22a¡3 ) =
4
a を実数とする．x に関する方程式
x2 ¡ 6x ¡ x ¡ 6
である．さらに，a = log2 3 > 1:584，b = log2 5 < 2:322 であることを用
いて，20:16 の値を小数第 1 位まで求めると 20:16 =
（岡山大学 2015 ）
+x=a
の実数解の個数を求めよ．
である．
（福岡大学 2015 ）
（千葉大学 2015 ）
5
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
四面体 OABC があり，OA = a ，OB = b ，OC = c とする．三角形 ABC
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡!
の重心を G とする．点 D，E，P を OD = 2 b ，OE = 3 c ，OP = 6OG を
7
角形 ABC の外心を D とする．このとき，
みたす点とし，平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡!
AD =
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OQ を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 三角形 ADE の面積を S1 ，三角形 QDE の面積を S2 とするとき，
p
p
p
座標平面上の 3 点 A( 3; ¡2)，B(3 3; 0)，C(4 3; ¡5) を頂点とする三
S2
を求
S1
サ
シ
¡!
AB +
ス
セ
¡!
AC
である．また，直線 AD と辺 BC の交点を E とすると，
めよ．
V2
(3) 四面体 OADE の体積を V1 ，四面体 PQDE の体積を V2 とするとき，
V1
を求めよ．
BE
=
EC
ソ
タ
である．
（早稲田大学 2015 ）
（横浜国立大学 2016 ）
8
t を媒介変数として，x = t +
5
2
1
+
，y = 2t ¡
で表される曲線を考
t
2
t
える．次の問いに答えよ．
6
4ABC と，A を通り BC に平行な直線 ` を考える．k を正の数とし，直線
¡!
¡!
` 上に点 P を AP = kBC となるようにとる．また直線 ` 上に点 Q を，線分
¡! ¡
!
PB と線分 QC が 1 点で交わるようにとる．その交点を R とする．AB = b ，
¡!
¡
!
¡!
¡!
AC = c とおき，また m を AQ = mAP により定める．以下の問いに答
(1) t を消去して，x と y の関係式を求めよ．
(2) a を定数とするとき，直線 y = ax + 5 とこの曲線との共有点の個数を調
べよ．
（琉球大学 2015 ）
えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) AR を b ; c ; k; m を用いて表せ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
3
(2) b = 1， c = 2，cos ÎBAC =
，m = ¡1 とする．BR と CR が
4
直交するとき，k の値を求めよ．
（熊本大学 2016 ）
9
2 つの点 A(1; ¡2; 3)，B(3; 2; 2) と xy 平面上を動く点 P について考え
m
る．線分 AP の長さと線分 PB の長さの和の最小値を m としたとき， p
5
の値を求めよ．
（自治医科大学 2015 ）
10 a を実数とし，関数 f(x) = 4x + a ¢ 2x¡1 + a を考える．このとき，次の問
いに答えよ．
13 4ABC の辺 AB 上に点 P をとり，BP の中点を Q とする．P，Q から BC に
平行な線をひき，AC との交点をそれぞれ S，R とする．4ABC の面積を 24
(1) 関数 f(x) の最小値が ¡2 となるとき，a の値を求めよ．
とする時，四角形 PQRS の面積の最大値を求めよ．
(2) 方程式 f(x) = 0 が実数解をもつとき，a の値の範囲を求めよ．
（自治医科大学 2007 ）
（島根大学 2015 ）
11 不等式
14 a を実数とする．2 次関数
logx y < 2 + 3 logy x
f(x) = x2 ¡ ax + 1
の表す領域を座標平面上に図示せよ．
（宮崎大学 2014 ）
の区間 0 5 x 5 1 における最大値を M(a)，最小値を m(a) と表す．
(1) 2 つの関数 b = M(a) と b = m(a) のグラフをかけ．
12 実数 p; q に対して，
f(x) = x2 + px + q;
(2) b を実数とする．2 次方程式
g(x) = x3 ¡ 3x
x2 ¡ ax + 1 ¡ b = 0
とおく．2 次方程式 f(x) = 0 の 2 つの解を ®; ¯ として，次の問に答えよ．
(1) 2 次方程式の解と係数の関係を用いて，積 g(®)g(¯) を p; q を用いて表せ．
(2) g(®) = 0 または g(¯) = 0 であるとき，点 (p; q) の集合を座標平面上に
図示せよ．
(3) g(®) = 0 または g(¯) = 0 ならば，® と ¯ は実数であることを示せ．
（宮城教育大学 2015 ）
が区間 0 5 x 5 1 において少なくとも 1 つの解を持つような点 (a; b) 全体
の集合を，(1) を用いて斜線で図示せよ．
（慶應義塾大学 2014 ）

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