例題 (指数関数を含む最大・最小 N o.1) 関数 f (x) = 4x − 3 · 2x+1 + 1 (0 5 x 5 2) について，次の問いに答えよ。 (1) t = 2x とおくとき，t のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) f (x) の最大値と最小値，また，そのときの x の値を求めよ。指数関数と最大・最小 (i) t = ax とおく (a > 0) (ii) t = ax + a−x とおく (a = 2) 〔解答〕 (1) 0 5 x 5 2 より，底 2 (> 1) から 20 5 2x 5 22 ⇐⇒ 1 5 t 5 4 t のとり得る値の範囲は 1 5 t 5 4 g(t) O 1 (2) f (x) = (2x )2 − 6 · 2x + 1 = t2 − 6t + 1 (1 5 t 5 4) −4 g(t) = t2 − 6t + 1 (1 5 t 5 4) とおくと g(t) = (t − 3)2 − 8 t = 3 のとき 2x = 3 ⇐⇒ x = log2 3 t = 1 のとき 2x = 1 ⇐⇒ x = 0 −7 −8 グラフより最大値 −4 (x = 0) 最小値 −8 (x = log2 3) 問題 x の関数 f (x) = (4x + 3 · 2x + 2) · 2−x について，次の問いに答えよ。 (1) t = 2x とするとき，f (x) を t を用いて表せ。 (2) f (x) の最小値を求めよ。 3 4 t 〔解答〕 (1) t = 2x とおくと t > 0 (2x )2 + 3 · 2x + 2 2x 2 t + 3t + 2 = t f (x) = (2) f (x) = t > 0, から t2 + 3t + 2 2 =t+ +3 t t 2 > 0 より，相加平均と相乗平均の大小関係 t √ √ 2 2 t + = 2 t · = 2 2 t t √ 2 等号は t = ⇐⇒ t = 2 (t > 0 より。) のとき t √ 2 よって f (x) = t + + 3 = 2 2 + 3 t √ 1 t = 2 ⇐⇒ x = であるから 2 ( ) √ 1 最小値 2 2 + 3 x= 2