(1) y = f(x) (2) 0

1
関数 f(x) = ¡x2 + 1 について以下の問いに答えよ．
(1) y = f(x) のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めよ．
(2) 0 < t < 1 とする．A から，4 点 (1; 0)，(t; ¡t2 + 1)，(¡t; ¡t2 + 1)，(¡1; 0) を結
んでできる台形の面積を引いた残りの面積 S(t) を求めよ．
(3) S(t) の最小値を求めよ．
（東北学院大学 2016 ）
-1-
2
a; b を実数として，3 次関数 f(x) = x3 ¡ ax2 + 3bx ¡ 10 は x = 1 で極値をとるとする．
(1) a =
ア
b+
イ
ウ
エ
であり，b Ë
オ
である．
(2) 3 次方程式 x3 ¡ ax2 + 3bx ¡ 10 = 0 が異なる 3 つの実数解をもつのは
b<¡
カ
;
キ
<b
のとき，すなわち
a<¡
ク
ケ
;
コ
サ
<a
のときである．
（東京理科大学 2015 ）
-2-
3
実数 k は 0 < k < 2 をみたし，xy 平面上の曲線 C を y = ¡x2 + 4 (x = 0)，直線 ` を
y = 4 ¡ k2 とする．次の各問に答えよ．
(1) y 軸，曲線 C，直線 ` で囲まれる部分の面積を S1 とすると，S1 =
ア
イ
k ウとなる．
(2) 直線 x = 2，曲線 C，直線 ` で囲まれる部分の面積を S2 とすると，
S2 =
エ
オ
k カ ¡
キ
k ク +
ケ
コ
となる．
(3) 2 つの面積の和 S = S1 +S2 を考える．S の最小値は
サ
である．このとき k =
シ
である．
（東洋大学 2015 ）
-3-
4
a > 0 として，放物線 C : y = 4x2 + 2，直線 ` : y = ax ¡ 6 について次の問に答えよ．
(1) C が点 (2; 18) で ` と交わるとき，a =
25
26
となり，点 (
27
;
28
)で
も交わる．
(2) C と ` が接する場合 a =
D
(
31
;
32
33
29
C
30
となり，接点の座標は
)
となる．C，` と y 軸で囲まれた領域の面積は
34
C
36
35
である．
（星薬科大学 2015 ）
-4-
5
次の問いに答えよ．
(1) 次の極限値を求めると，lim
x!2
x3 ¡ 8
=
x¡2
ア
であり，
(2x + h)3 ¡ (2x)3
= イである．
h
h!0
dV
4
(2) r の関数 V =
¼(r + 2)2 の導関数を求めると，
=
3
dr
円周率である．
lim
ウ
である．ただし ¼ は
（神戸薬科大学 2015 ）
-5-
6
3 次関数 f(x) = x3 ¡ ax2 ¡ 3bx ¡ 10 がある．
(1) 関数 f(x) が x = ¡2; 4 で極値をとるならば，a =
マ
ミ
，b =
ム
メ
である．
(2) 関数 y = f(x) のグラフが点 (3; ¡1) を通り，この点における接線の傾きが 3 であるな
らば，a =
モ
ヤ
，b = ¡
ユ
ヨ
である．
(3) a + b = 0 のとき，関数 f(x) が常に増加するならば，0 5 a 5
ラ
リ
である．
（東北工業大学 2014 ）
-6-
7
放物線 C1 : y = x2 + 3x + 6 について，次の問いに答えよ．
(1) C1 上の点 (¡1; 4) における接線 ` の方程式を求めよ．
(2) C1 を x 軸方向に 3，y 軸方向に 2 だけ平行移動した放物線 C2 の方程式を求めよ．
(3) C2 と ` の交点の座標をすべて求めよ．
(4) C2 と ` で囲まれた図形の面積を求めよ．
（大阪工業大学 2014 ）
-7-
8
x = sin µ #0 5 µ 5
E
(1)
ア
5x5
¼
; とする．次の各問に答えよ．
3
イ
ウ
である．
(2) sin µ cos 2µ を x で表すと，x(
(3) sin µ cos 2µ は sin µ = C
カ
エ
¡
オ
x2 ) となる．
C
のとき，最大値
キ
ク
ケ
をとる．
（東洋大学 2014 ）
-8-
9
放物線 C : y = x2 ¡ x + 2 と直線 L : y = ¡5x ¡ a が点 (b; c) で接するとき，a + b + c
の値を求めよ．
（自治医科大学 2013 ）
-9-
10 関数 f(x) = x3 ¡ 9x2 + 3x は，x = a で極大値をとり，x = b で極小値をとるものとす
る（ a; b は実数）．(a + b) の値を求めよ．
（自治医科大学 2012 ）
- 10 -

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