基礎数学 C レポート 7 解答例 (2015/06/02) 問題 7 (10 点) f : [a, b] → R が凸であるとする. n ≥ 2 のとき, 次が成り立つことを示せ. ( n ) n n ∑ ∑ ∑ t1 , . . . , tn ≥ 0, tk = 1, x1 , . . . , xn ∈ [a, b] =⇒ f tk xk < tk f (xk ). (1) k=1 k=1 k=1 答え n ≥ 2 に対して (1) が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す. ∑n ∑n まず k=1 tk xk が [a, b] に属することを確認する. 任意の n ≥ 2, t1 , . . . , tn ≥ 0, k=1 tk = ∑n ∑n ∑n 1, x1 , . . . , xn ∈ [a, b] に対して a = tk a ≤ tk xk ≤ k=1 k=1 k=1 tk b = b より ∑n ∑n k=1 tk xk ∈ [a, b] であるから f ( k=1 tk xk ) は意味を持つ. n = 2 のとき（1）が成り立つことは f の凸性から明らかである. n = l (l ≥ 2) のとき (1) が成り立つと仮定する. ∑l+1 n = l + 1 のとき t1 , . . . , tl+1 ≥ 0, k=1 tk = 1, x1 , . . . , xl+1 ∈ [a, b] を満たす任意の {tk }, {xk } をとる. tl+1 = 0 ならば仮定より (1) の右側の不等式は成り立つ . (∑ ) ∑l l 0 < tl+1 < 1 のとき i=1 ti = 1 − tl+1 > 0 である. sk = tk / i=1 ti , k = 1, . . . , l ∑l とおくと s1 , . . . , sl ≥ 0, k=1 sk = 1 を満たす. f の凸性と仮定から ) ) ( l ( l+1 ∑ ∑ tk xk + tl+1 xl+1 tk xk = f f k=1 k=1 ( l )) ) ( l ( l ∑ ∑ ∑ tk xk / ti + tl+1 f (xl+1 ) tk f < k=1 k=1 k=1 k=1 i=1 ) ) ( l ( l ∑ ∑ sk xk + tl+1 f (xl+1 ) tk f = ( l )( l ) ∑ ∑ sk f (xk ) + tl+1 f (xl+1 ) < tk = k=1 l+1 ∑ k=1 tk f (xk ). k=1 よって n = l + 1 に対しても (1) は成り立つ. 以上から数学的帰納法により (1) は全ての n ≥ 2 に対して成り立つ. 講評 • t1 , . . . , tn > 0 とすべきでした．すみません (戸松)． ∑n ∑n • k=1 tk xk ) は意味を持ちませ k=1 tk xk が f の定義域 [a, b] に属さない限り f ( ん. {tk } の条件が必要な理由も考えましょう. • ti = 1 となる番号 i ∈ {1, . . . , n} がある場合 (1) は成り立ちません. さらに条件 t1 , . . . , tn < 1 を付け加えると (1) は成り立ちます. ここまで考察できるとなお良いです.