数学演習 IA・小テスト (５月１４日分) 以下の問いにそれぞれ答えよ. ただし電気情報の学生は, 3, 4 の代わりに ∗ 3 , 4∗ を答えよ. 1. 置換 ( 1 2 ··· σ= 2 4 ··· n n + 1 n + 2 ··· 2n 1 3 ··· ) 2n 2n − 1 を長さ 2n のシャッフル置換という. 例えば, 長さ 4 のシャッフル置換を繰り返し合成すると 1 7→ 2 7→ 4 7→ 3 7→ 1 と写りあうので, ちょうど４回合成すると恒等置換になる. (1) 長さ 6 のシャッフル置換はちょうど何回合成すると恒等置換になるか？ (2) 長さ 8 のシャッフル置換はちょうど何回合成すると恒等置換になるか？ (3) 長さ 2n のシャッフル置換は少なくとも 2n 回合成すると恒等置換になることを証明せよ. 2. 次の行列式を計算せよ. 但し (2) は n 次正方行列とする. 0 0 · · · 0 99 100 101 0 0 · · · 1 . . .. (1) 100 99 100 (2) .. .. . 101 101 99 0 1 · · · 0 1 0 · · · 0 3∗ . 次の行列式を計算せよ. (1) −4 −5 3 13 14 1 (2) −2 −2 −8 −5 0 5 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 2 −6 1 2 1/4 1/6 2/3 1/12 1/6 1/4 1/4 0 1/6 (3) 1 0 .. . 0 0 1 4∗ . 次の行列式 a b c d b a d c を２通りの方法で計算することにより, 恒等式 (a2 − b2 )(c2 − d2 ) = (ac + bd)2 − (ad + bc)2 を証明せよ. 3. n 変数多項式 f (x1 , . . . , xn ) と n 次の置換 σ ∈ Sn に対して, 新しい n 変数多項式 fσ を fσ (x1 , . . . , xn ) = f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) で定める. (1) σ = (1 2 3) かつ f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ) のとき, fσ (x1 , x2 , x3 ) を求めよ. (2) σ, τ ∈ Sn のとき, (fτ )σ = fστ であることを示せ. 4. n 変数多項式 ∏ ∆(x1 , . . . , xn ) ≡ (xi − xj ) 1≤i<j≤n を差積という. (1) 互換 σ ∈ Sn に対して ∆σ (x1 , . . . , xn ) = −∆(x1 , . . . , xn ) を示せ. (2) 置換 σ ∈ Sn を互換の積に分解した時, 互換の個数の偶奇性は分解の仕方に依らないことを示せ. 2