整数x､yについて、x²+y²が3の倍数ならばx､yはともにについ

数Ⅰ
【例題】
整数x､yについて、x²+y²が3の倍数ならばx､yはともに
3の倍数であることを証明せよ。
数Ⅱ
【例題】
𝑥についての2次方程式 (1+i) 𝑥²-(1+2i) 𝑥－2=0の
実数解を求めよ。
【考え方】
命題とその対偶の真偽は一致する。
【考え方】
a+bi=0 の形に整理して、a=b=0 となることを利用する。
【解答】
この命題の対偶は「整数x､yについて、xまたはyが3の
倍数でないならば、x²+y²は3の倍数ではない。」
【解答】
(1+i) 𝑥²-(1+2i) 𝑥－2=0
(𝑥²- 𝑥－2)+(𝑥²-2𝑥)i＝0
𝑥が実数のとき、𝑥²- 𝑥－2、𝑥²-2𝑥 も実数である。
したがって、
𝑥²- 𝑥－2＝0・・・①　𝑥²-2・・・②
①より(𝑥+1)(𝑥ｰ2)＝0　𝑥＝-1,2
②より 𝑥（𝑥－2）＝0　𝑥＝0,2　(i) xが3の倍数でないとき
xは整数kを使って、x＝3k+1　または　x＝3k-1
と表させる。
y＝3ℓ(ℓは整数)のとき
x²+y²＝(3k±1)²+(3ℓ)²＝3(3k²±2k+3ℓ²)+1（複号同順）
y＝3ℓ+1(ℓは整数)のとき
x²+y²＝(3k±1)²+(3ℓ+1)²＝3(3k²±2k+3ℓ²+2ℓ)+2（複号同順）
y＝3ℓｰ1(ℓは整数)のとき
x²+y²＝(3k±1)²+(3ℓ-1)²＝3(3k²±2k+3ℓ²-2ℓ)+2（複号同順）
となり、3k²±2k+3ℓ²,3k²±2k+3ℓ²+2ℓ,3k²±2k+3ℓ²-2ℓは
整数だからx²+y²は3の倍数ではない。
(i) yが3の倍数でないとき
(i)と同様にx²+y²は3の倍数ではない。
したがって、(i),(ii)より、対偶が証明されたので、元の
命題も成り立つ。（証明終）
※x=3k+1,3k+2と場合分けしても同様に証明される。
①、②を同時に満たす𝑥 の値は 𝑥＝2 ・・・・・（答）

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