デルタ関数(The Delta Function)

デルタ関数 (The Delta Function)
1
定義
ディラックのデルタ関数は、次の式によって定義される。
δ(x − a) =
+∞
−∞
+∞ (x = a のとき)
0
(x =
a のとき)
δ(x − a) dx = 1
(1)
(2)
以上のことより、デルタ関数は、次の性質を持つ。
+∞
−∞
δ(x − a)f (x) dx = f (a)
δ(−x) = δ(x)
また、
δ(ax) =
が成り立つ。なぜなら、
a > 0 のとき、
+∞
1
δ(ax)f (x) dx =
a
+∞
1
δ(ax)f (x) dx = −
a
+∞
−∞
a < 0 のとき、
+∞
−∞
1
δ(x)
|a|
だからである。
更に一般化した
δ (ϕ(x)) =
−∞
i
−∞
(3)
(4)
(5)
1
δ(y)f (y/a) dy = f (0)
a
1
δ(y)f (y/a) dy = − f (0)
a
1
δ(x − αi )
|ϕ (αi )|
(6)
が成り立つ。ここで、αi は、ϕ(x) = 0 の解である。なぜなら、ϕ(x) を αi のまわり
で Taylor 展開すると、
ϕ(x) = ϕ (αi )(x − αi ) + · · ·
となるからである。
1
2
フーリエ変換
フーリエ変換は、次のように定義される。
+∞
1
f (x) = √
F (k)eikx dk
2π −∞
+∞
1
f (x)e−ikx dx
F (k) = √
2π −∞
(7)
(8)
(8) 式の積分変数 x を x と書き換えて、(7) 式に代入すると、
1
f (x) =
2π
+∞
−∞
となる。ゆえに、
δ(x − x ) =
dx f (x )
1
2π
+∞
−∞
が成り立つ。
2
+∞
−∞
eik(x−x ) dk
eik(x−x ) dk
(9)

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