条件と結論の分析 点 に関する条件 の距離は れば必ず を 「点 が直線 ： 上にある」，条件 以上である」としよう。このとき原点と直線 との距離が が成立する。これを「 を「点 と原点 なので， が成立す 」と記述する。 のとき， は の十分条件 のとき， は の必要条件 かつ のとき， は の必要十分条件 であるという。数学の論証では，さまざまの条件についてそれらが同値であるかどうかを 確認 することが基礎となる。同値な命題は同等の価値がある。 仮定された条件や示したい結論を同値変形する。仮定条件と結論を同値変形してそのあいだ の隔たりが埋まれば， 多くの場合問題は解けることになる。 大阪大理系（和の整数部分） 整数部分を求めよ。 早稲田（不等式の証明） のとき，次の不等式が成立することを示せ。 のとき，次の不等式が成立することを示せ。 東大前期文（角度一定の軌跡） 座標平面上の 点 ただし， ， に対し、 を満たす点 の軌跡を求めよ。 とする。 慶應経済（個数の総和） を自然数全体の集合とする。集合 と定める。 の つの票秦 を に対して，次の条件 または が成り立つとき， と 表すことにする。 ： また の要素 ： かつ に対して集合 を と定める。 の要素をすべて書き並べよ。 の要素の個数を の式で表せ。 の要素の個数を の式で表せ。 の要素 和を に対して の式で表せ。 とおく。 のすべての要素 に対する の 京大理系（条件を満たす三角形の形状） 半径 の円周上に相異なる 点 がある。 ならば は鋭角三角形であることを示せ。 が成立することを示せ。また，この場合等号が成立するのはどのような場 合か。 岐阜大（連立 次方程式） と を実数の定数とする。 を未知数とする連立 次方程式 を考える。 以下の問いに答えよ。 この連立 次方程式がただ一組の解を持つために と が満たすべき必要十分条件を与え，その条件 の下での解を求めよ。 この連立 次方程式が無数に多くの解を持つために と が満たすべき必要十分条件を与え，その条 件の下での解をもれなく求めよ。 愛媛大（整数値関数） を整数とし， とおく。すべての整数 に対して， は の 倍数であることを示せ。 すべての係数が整数である の係数は すべての整数 を満たすならば， 次の整式 が次の二つの条件 である。 に対して， はある整数 は の倍数である。 を用いて， と表されること を示せ。 甲南大（ 変数定符号 次式） を実数とする。 をみたす実数 が 以外に存在するためには， が成り立つことが，必要十分であることを証明せよ。 さらに を実数とする。任意の実数 が成り立つための の最大値と に対して の最小値を， を用いて表せ。 東北大後期文系（点集合の面積） 平面の 三角形を 点 を頂点とする三角形を とする。点 る点の全体を が 内を動き，点 とし， 点 が を頂点とする 内を動くとき， で表され とかく。 のとき の面積を求めよ。 すべての ぞれ に対して， を示せ。ただし ， ， は，それ ， ， の面積とする。 早稲田理工（格子点上の関数） 自然数 に対して を で定める。以下の問に答えよ。 をみたす は整数で，等式 つならば， 任意の自然数 ， を 組求めよ。 をみたすとする。不等式 ， となることを示せ。 に対し， をみたす がただ 組だけ存在することを示せ。 が成り立
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