Document

微分積分 I
2015/06/19
1/3
問題
次の関数の増減表を書き、極大値、極小値、最大値、最小値について調べ、グラフの概形を描け。
(1)
f (x) = x2 − 2x − 3
（定義域：[−1, 4]）
(2)
g(x) = x − 6x + 9x − 3
（定義域：[−2, 6]）
(3)
h(x) = x2 (1 − 2x)
（定義域：(−2, 4)）
3
2
解答
関数 y = f (x) のある閉区間における最大値・最小値を求めるには次の点における関数 f (x) の値を比較すればよい。
f ′ (x) = 0 となるような点 x
区間の端点
微分可能でない点
(1) f (x) = x2 − 2x − 3 に対して、
f ′ (x) = 2x − 2
f ′ (x) = 0 を解くことで、
f ′ (x) = 2(x − 1) = 0
∴x=1
x = 1 が定義域 [−1, 4] の中にあり、増減表は、
−1
x
f ′ (x)
f (x)
···
−
0
↘
0
···
1
4
+
−4
↗
5
0
í4
í2
x^2 í 2 * x í 3
2
4
となり、グラフの概形は、以下のようになる。
í1
0
1
2
3
4
x
よって、定義域が区間 [−1, 4] であるから、
1/3
微分積分 I
2015/06/19
2/3
x = −1 のとき、f (1) = −4
極小値は
よって、最小値は、x = 1 のとき、f (1) = −4
x = −1 のとき、f (−1) = 0
極大値は
x = 4 のとき、f (4) = 5
よって、最大値は、x = 4 のとき、f (4) = 5
(2) g(x) = x3 − 6x2 + 9x − 3 に対して、
g ′ (x) = 3x2 − 12x + 9
g ′ (x) = 0 を解くことで、
g ′ (x) = 3x2 − 12x + 9 = 3(x2 − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3) = 0
∴ x = 1, x = 3
x = 1 と x = 3 は定義域 [−2, 6] の中にあり、増減表は、
x
−2
g ′ (x)
g(x)
···
+
−53
↗
1
···
3
0
−
0
1
↘
−3
···
6
+
↗
51
20
0
í20
í40
x^3 í 6 * x^2 + 9 * x í 3
40
となり、グラフの概形は、以下のようになる。
í2
0
2
4
6
x
よって、定義域が区間 [−2, 6] であるから、
極小値は
x = −2 のとき、f (−2) = −53
x = 3 のとき、f (3) = −3
よって、最小値は、x = −2 のとき、f (−2) = −53
極大値は
x = 1 のとき、f (1) = 1
x = 6 のとき、f (6) = 51
よって、最大値は、x = 6 のとき、f (6) = 51
2/3
微分積分 I
2015/06/19
3/3
(3) h(x) = x2 (1 − 2x) = x2 − 2x3 に対して、
h′ (x) = 2x − 6x2 = 2x(1 − 3x)
h′ (x) = 0 を解くことで、
h′ (x) = 2x(1 − 3x) = 0
x=0とx=
1
3
∴ x = 0, x =
1
3
は定義域 (−2, 4) の中にあり、増減表は、
−2
x
h′ (x)
h(x)
···
−
20
↘
0
···
1/3
0
+
0
0
↗
1/27
···
4
−
↘
−112
0.4
0.2
í0.1
í100
0.0
0.1
x^2 * (1 í 2 * x)
0.3
í40
í60
í80
x^2 * (1 í 2 * x)
í20
0.5
0
20
となり、グラフの概形は、以下のようになる。
í2
í1
0
1
2
3
4
í0.4
í0.2
x
0.0
0.2
0.4
0.6
x
なお、左のグラフは定義域 (−2, 4) についてのもので、右のグラフは区間 [−1/2, 1/3] についてのものである。
よって、定義域が区間 (−2, 4) であるから、
極小値は
x = 0 のとき、f (0) = 0
極大値は
x = 1/3 のとき、f (1/3) =
1
27
定義域 (−2, 4) の端点の値は定義されていなく、対応する値がないので、最大値と最小値は存在しない。
グラフ描画は、統計解析ソフト R を用いています。
3/3

Download Report