模擬試験問題本試験の予定時刻など科目：電磁気学 A 教員：斎藤晴雄 12 月 25 日(金)5 時限(16:50-18:30) 90 分間クラス：S23-21,23,24 問題用紙 1 枚、解答用紙 1 枚、計算用紙 1 枚持ち込み不可以下ヒントの式を示します。これはヒントなので文字の定義は示しません。 𝜕𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 , div 𝐴⃗ = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , ) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝜙 grad 𝜙 = ( , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 , 𝜕𝐴 𝜕𝐴 (rot 𝐴⃗)𝑧 = 𝑦 − 𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⃗⃗⃗⃗ = 𝜇0 𝐼, 𝐷 = 𝜀0 𝐸 + 𝑃, 𝑃 = 𝜀0 𝜒𝐸 = 𝜀0 𝜀 ′ 𝐸 = 𝜀𝐸 ⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙 ∬ 𝐸𝑛 𝑑𝑆 = 𝜀0 ∭ 𝜌𝑑𝑉 , ∮ 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ 𝜕𝐵 (𝑥⃗,𝑡) 1 ⃗⃗(𝑥⃗, 𝑡) − 𝜀0 𝐸(𝑥⃗,𝑡) = ⃗𝑖(𝑥⃗, 𝑡)、ε0 div𝐸⃗⃗(𝑥⃗, 𝑡) = 𝜌(𝑥⃗, 𝑡)、div𝐵 ⃗⃗(𝑥⃗, 𝑡) = 0 rot𝐸⃗⃗(𝑥⃗, 𝑡) + = 0、 rot𝐵 𝜕𝑡 𝜇0 𝜕𝑡 第一問、第二問は解答用紙の表面に、第三問以降は裏面に解答してください。第一問 (1) 座標原点に静電ダイポールがあり、その大きさと方向は、 𝑚 ⃗⃗⃗ = 𝑞𝑙⃗ 、 𝑙⃗ = (𝑙𝑥 , 𝑙𝑦 , 𝑙𝑧 )である。点(𝑥, 𝑦, 𝑧)における電位を答えよ。 (2) 𝑙⃗ = (0,0, 𝑙𝑧 )の場合の点(𝑥, 𝑦, 𝑧)における電場ベクトルを答えよ。第二問ある２次元の座標系(xy 座標系)をとったとき、以下の式で表現できるスカラー場を考える。 𝜙1 (𝑥, 𝑦) = exp(−𝑘1 𝑥 2 − 𝑘2 𝑦 2 ) (1)grad 𝜙1 の x 成分と y 成分を求めよ。 (2)div(grad 𝜙1)を求めよ。 (3)rot (grad 𝜙1)の z 成分を求めよ。 (4)(𝑥0 , 𝑦0 )を通る等高線の線の方向に平行な方向ベクトルを答えよ。（方向違いで２通りあるがどちらでもよい。大きさは 1 にしなくてよい。） (5)次に別のスカラー場𝜙2 (𝑥, 𝑦) = exp(𝑘1 𝑥) + exp(𝑘2 𝑦 )を考える。(𝑥0 , 𝑦0 )を通る等高線の線の方向に平行な方向ベクトルを答えよ。（方向違いで２通りあるがどちらでもよい。大きさは 1 にしなくてよい。） (6) xy 座標系で ⃗⃗ = (0) 𝑉 𝑦 と書けるベクトル場がある。これを別の座標系 x'y'系で表現せよ。xy 系と x'y'系の関係は図のようになっており xy 軸を反時計まわりにθ回すと x'y'軸に重なる。第三問 (1)原点を中心として球対称な固定された電荷分布がある。電荷 q をこの電荷分布の中に置いたところ、力が中心からの距離 r の 8 乗に比例していた。電荷分布の関数形を示せ。第四問 xyz 座標系があって、z 軸のうち z が負である半直線上を電流 I が-∞から原点まで流れている。原点には電荷が時間と共に溜まっていく。t=0 では電荷ゼロ、すなわち Q=It とする。 (1)A 点(x,0,0)における磁束密度の大きさを答えよ。ただし x>0。 (2)任意の点（z 軸上をのぞく）の磁束密度ベクトルを求めよ。 (3)A 点における rot B(ベクトル)を求めよ。 (4)A 点に磁気ダイポールを置く。磁気ダイポールに加わるトルク（力のモーメント）を求めよ。 (5)同様に、A 点に置いた磁気ダイポールに加わる並進力を求めよ。 (6)A 点に置いた静電ダイポールに加わる並進力を求めよ。第五問分子密度ρが十分小さい気体があったとする。これを平たい箱に詰めて、広い面の法線方向に電場をかける。気体の外部での電場は𝐸0 である。真空中の誘電率をε0 とする。 (1)内部の電場𝐸を𝐸0 と気体の誘電率εとε0 とであらわせ。また分極密度 P を E とεとε0 とで表せ。 (2)気体分子の分極率αとは、一つの気体分子に対して、その分極 p（小文字）が 𝑝 = 𝛼𝐸1 となる値である。𝐸1 は気体分子を置く前にその場所に存在した電場である。(1)で考えた気体に対して、密度ρが大きくなければ、分極密度は 𝑃 = 𝜌𝛼𝐸′′ と書ける。E''は気体分子に加わる電場である。この E''として、(1)の𝐸を使った場合にαと εの関係を求めよ。(ただし(1)の E を使うのが適切かは明らかではない。) (3)気体中の光の屈折率 n は ε 𝑛=√ ε0 である。n をρとαで表せ。 (4) (2)で、𝑃 = 𝜌𝛼𝐸0 と仮定した場合、(2)(3)の結果はどのように修正されるか。またρが小さい場合は違いがなくなることを示せ。