電磁気学C Electromagnetics C 情報ナノエレコース 5セメ開講電磁波の物理山田博仁講義について 1. 目的: 古典的な電磁場やMaxwell方程式について理解を深め、さらにそこから導かれる電磁波の性質を理解し、古典電磁気学の素養を身に付ける 2. 内容 - Maxwell方程式の意味、定常状態でのMaxwell方程式の扱い - 波動方程式の導出と電磁波 - 平面電磁波の性質（偏波、運動量、エネルギー） - 誘電体中の電磁波（位相速度、インピーダンス、分散、非線形効果） - 電磁波の反射、屈折、透過、回折、散乱現象 - 導波路中の電磁波伝搬 - 電磁ポテンシャルとゲージ変換 - 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル - 電気双極子による電磁波の放射再試は行わないつもりです 3. 成績評価出席点(2点/1回)、レポートまたは小テストの合計で60点、定期試験で40点 4. 参考書太田昭男著、新しい電磁気学培風館砂川重信著、物理テキストシリーズ4 電磁気学、岩波書店砂川重信著、理論電磁気学、紀伊国屋書店日本語訳ファインマン物理学Ⅲ、Ⅳ 岩波書店など講義に関する連絡や補足講義に関する連絡および講義資料のダウンロード http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe 講義に関する補足説明等ブログ http://kougi.at.webry.info/ オフィスアワー: 随時 (私の居室: 電気系2号館203号室) 質問、問い合わせ等 E-mail: [email protected] TEL: 795-7101 ※ 講義の際には、出席をとるためのB5またはA4のレポート用紙などを各自ご持参下さい遠隔作用と近接作用 Coulombの法則電荷 F 力 +Q +q F 電場 (電界) 電荷 d F 力 F r +Q +q F 力 e(x) は位置 x での 1 qQ 4 0 d 2 遠隔作用電場に関する Gaussの法則電荷密度 E (r )  1 Q 4 0 r 2 divE ( x )   e( x ) 0 F  qE F ( x)  qE ( x) 遠隔作用→近接作用近接作用両電荷間の距離 r が残っているという意味において、これでもまだ遠隔作用的な考え方遠隔作用と近接作用クラシックコンサートタクトが上がった前の席の人が大きくて指揮者が見えない席が悪くて指揮者が見えない距離: d 遠隔作用では、「場」という概念は必要ない遠隔作用演奏が始まるぞ ! あなたは、その「場」の雰囲気を感じ取っている近接作用周りが静かになった演奏が始まるぞ ! Maxwellの方程式物質中の電磁場を規定する基本法則 B ( x , t ) t D( x , t ) rot H ( x , t )  ie ( x , t )  t div D( x , t )   e ( x , t ) rot E ( x , t )   div B ( x , t )  0 ファラデーの電磁誘導則アンペール・マクスウェルの法則電場に関するガウスの法則磁場に関するガウスの法則 B ( x , t ) t D( x , t )   H ( x , t )  ie ( x , t )  t   D( x, t )   e ( x, t )   E ( x, t )     B( x, t )  0 E(x, t): 電場 (V/m) SI国際単位系 H(x, t): 磁場 (A/m) D(x, t): 電束密度 (C/m2) B(x, t): 磁束密度(磁場) (Wb/m2) ie(x, t): 伝導電流密度 (A/m2) 変位電流 e(x, t): 真電荷密度 (C/m3) 古典(ニュートン)力学の復習ニュートンの運動法則（第一法則）慣性の法則外力が働かなければ、静止している物体はいつまでも静止をつづけ、運動している物体はいつまでも等速直線運動をつづける（第二法則）運動の法則物体に外力が働くとき、物体には外力と同じ向きの加速度が生じる。その加速度の大きさ a は、働いている外力の大きさ F に比例し、物体の質量 m に反比例する。つまり、F = ma （第三法則）作用反作用の法則物体AがBに力 F （作用）を働かせてると、BはAに同じ大きさで逆向きの力 -F（反作用）を同一作用線上で働き返す万有引力の法則 F = G(m m’/r2) [m と m’ は二質点の質量、r は両者の間の距離、Gは重力定数] 古典物理学の法則総決算 (ファインマン物理学第Ⅲ巻第18章) Maxwell方程式  E  e 0  E   B t B  0 c 2  B  ie 0  E t 電荷の保存則   ie    e t 力の法則 (ローレンツ力) F  q ( E  v  B) 運動の法則 d ( p)  F , dt 万有引力 p mv 1 v2 / c2 F  G m1m2 er r2 Maxwell方程式の意味 1. ファラデーの電磁誘導則 rot E ( x, t )   B( x, t ) t 磁場(磁束密度)の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る B(x, t1) E(x, t1) B(x, t2) B(x, t3) E(x, t2) E(x, t3) 変化する磁場の周りの電界は、そこに導線(コイル)が有る無しに関わらず生じるたまたま導線が有ると、導線内の自由電子が電界により動き、電流 I が流れるコイル I Maxwell方程式の意味 2. アンペール・マクスウェルの法則 rot H ( x, t )  ie ( x, t )  D( x, t ) t ie(x, t) 定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る H(x, t) さらに、電場(電束密度)の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る E(x, t1) H(x, t1) E(x, t2) H(x, t2) E(x, t3) H(x, t3) Maxwell方程式の意味 3. 電場に関するガウスの法則 div D( x, t )  e ( x, t ) 電荷密度が電場(電束密度)の発散を引き起こす D(x) e(x) 4. 磁場に関するガウスの法則 div B( x, t )  0 B(x) 磁場(磁束密度)の発散源(磁荷)は存在しない m(x) その他の関係式   ie ( x , t )    e ( x, t ) t 電荷保存則 (電流連続の式) ie ( x, t )   [ E ( x, t )  E ex( x, t )] F  q ( E  v  B) 媒質中での扱いオームの法則ローレンツ力 (構造関係式) D( x, t )   0 E ( x, t )  P ( x, t ) B ( x , t )   0 {H ( x , t )  M ( x , t )}   0 E ( x, t )   0  e E ( x, t )  0 H ( x, t )  0  m H ( x, t )   0 (1   e ) E ( x , t )   0 (1   m ) H ( x , t )   0 r E ( x , t )  0  s H ( x, t )   E ( x, t )   H ( x, t ) P(x, t): 分極ベクトル e: 電気(比)感受率 M(x, t): 磁化ベクトル m: 磁化率(磁気感受率) r : 比誘電率  : 誘電率 (F/m) -12 2 2 -1 -2 覚え方 0 : 8.854185×10 (A ・s ・N ・m ) s : 比透磁率  : 透磁率 (H/m) 0 : 1.2566371×10-6 (A2・s2・N-1・m-2) ややこしい矢号も自由に引けりゃ一人前人の不幸ろくろく見ないで点引きゃ無情ローレンツ力導線 F  q ( E  v  B) ローレンツ力 x 導線 E = 0なら +q v F F 電流 B F B I I フレミングの左手の法則 z y アンペールの法則 (右ねじの法則) 同一方向に流れる電流には引力が働く v 電子 I -e I B フレミングの右手の法則電子 F v I F -e v B B これらは全てローレンツ力で説明できるクイズ [1] コイルに電流は流れるか? [2] 起電力は発生するのか? - V + コイル B I? B v 速度 v で移動 w 一様な磁場 [答] 1) 図の方向に流れる 2) 図と反対方向に流れる 3) 流れない参) 大田昭男著新しい電磁気学 p.119 8.2節参照回転する導体円板一様な磁場 [答] 1) 図の方向に電圧が発生する 2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない単極誘導参) 大田昭男著新しい電磁気学 p.120 例題8.1参照クイズ [3] [2]で、円板は固定して、磁場の方を回転させたらどうなるか? - V + - V + B B w 静止した導体円板静止した導体円板 N 回転する一様な磁場 [答] 1) 図の方向に電圧が発生する 2) 図と反対方向に電圧が発生する 3) 発生しない w 回転する磁石 S 磁場の本質とは? - V + - V + B B 両者は等価静止した導体円板静止した導体円板コイル N w w 回転する磁石 S I 電流 I が流れているコイルを回転するクイズ [4] 磁場中を運動している荷電粒子のパラドクス x x 一様な磁場 B 一様な磁場 B +q +q v v v=0 F F z y F=qvB z y v ローレンツ力が働き、粒子はこちらに近づいて来る荷電粒子と同じ速度で運動している観測者から見ると v = 0 従って、ローレンツ力は働かず、粒子はこちらに近づいて来ない。本当か? ローレンツ力と相対運動 z E Bz K z’ y K’ v + q Fy’ x y’ x’ -v Fy’ = q v×Bz 電磁場とは何か? 場とは、空間の歪み一体何が歪むのか? 重力場: 空間の重力的な歪み? 電磁場: 空間の電気的な歪み? よくこんな図を見かけるが、、、ゴムシートの上に重い球を乗せると、シートが窪むこの場合、歪む「もの」が実体としてあるゴムの分子しかし電磁場の場合、或いは重力場の場合、そのような歪む「もの」が実体としてある訳ではないクイズ [5] 同じ速度 v で、並走する2つの電子のパラドクス電子電子 v F -e v F F -e F v F -e v -e F B 今、ロ－レンツ力による引力と、クーロン力による反発力が吊り合っているとする電子と同じ速度で並走している観測者から見ると、v = 0 であるため磁場 B は存在しない。従ってロ－レンツ力による引力は働かないので、クーロン力による反発力のみとなり、2つの電子は次第に離れていく参) ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式ローレンツ・ゲージにおいて、Maxwell方程式は次の方程式系で置き換えられる A( x, t )  grad ( x, t ) t B ( x, t )  rotA( x, t ) E ( x, t )    1    2 c   1    2 c   (1)  (2) 2  1   ( x , t )    e ( x, t ) t 2  0  (3) 2   A( x, t )    0 ie ( x, t ) 2  t   (4) div A( x, t )  1  ( x, t ) 0 c2 t ここで、ϕ(x, t), A(x, t)は各々スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルである  (5) 2 ただし、真空中を仮定して、    0 0  c としている。式(5)は、ローレンツ条件と呼ばれているベクトル解析の復習重要なベクトル恒等式 rot grad    ( )  0 (ゼロベクトル ) div rot E    (  E )  0 div grad    ( )   2   (  ) E  E (スカラー場) (ベクトル場) rot rot E    (  E )  (  E )  E ガウスの定理ストークスの定理  F  ndS     FdV S V n  F  dr   (  F )  ndS C S F dS S V n F S dS C dr ベクトル解析の復習演算子∇(ナブラ)と (ラプラシアン)の意味        , , (ベクトルと見なせる)  x y z   2 2 2  (スカラーと見なせる)        2  2  2   x  y  z   勾配(gradient) ‥ スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子   ( x)  ( x)  ( x)   ( x)  ( x)  ( x)   grad ( x)   ( x)   , , ex  ey  ez y z  x y z  x 発散(divergence) ‥ ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子 divE ( x)    E ( x)  Ex ( x) E y ( x) Ez ( x)   x y z ナブラ∇と E(x)のスカラー積スカラー積(内積) A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz ベクトル解析の復習回転(rotation) ‥ ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子 ex ey ez    rot E ( x )    E ( x )  x y z Ex ( x) E y ( x) Ez ( x)  E ( x ) E y ( x )   E y ( x ) E x ( x )   E ( x ) E z ( x )  e x   x e z   z    e y    y  z  z  x  x  y       ナブラ∇と E(x)のベクトル積ベクトル積(外積) ex ey ez A  B  Ax Ay Az  (Ay Bz  Az B y )e x  ( Az Bx  Ax Bz )e y  (Ax B y  Ay Bx )e z Bx By Bz