線積分ストークスの定理

教科書p.380-382
線積分
ストークスの定理
1
積分
integration
微分
（元の意味は統合）
積分はたし算：
微小量をたくさん加える。
・高校の数学の積分は、
１次元（直線上）。
differentiation
（元の意味は差別化）
「差」を取る。
 f ( x)dx
・大学では、いろいろな領域での積分
1) 線積分
曲線上での積分
2) 面積積分面での積分
3) 体積積分立体の体積内での積分
積分する領域によって名前が付いている。
 A  dl
C
A

d
S

S
 f dV
V
2
積分の基本的性質
高校の数学の１次元積分では、

b
a
a
c
c
b
a
b c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
大学では、もっと一般的に領域の積分を考える

A
 
B

A B
領域Ａでの積分＋領域Ｂでの積分＝領域「A＋Ｂ」での積分
3
線積分
ベクトル場Ａに対して
 A  dl
dl
C
を考える。
dl
エル。lineから
ある曲線Cに沿った
微小ベクトル
積分すると長さになる。
微小ベクトルとは。
高校の数学で、dxやΔxは勉強した。スカラーの微小量。
では微小ベクトルはどのような量か？
長さが微小。方向は変わる。
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線積分の例題
問題図のように、xy面上に原点を中心とする、
一辺の長さ２の正方形がある。
A=(y,-x)とする。
A
-1
(1) 辺AD上で図の方向のベクトル
(2) 辺AD上で
 A  dl
dl
を求めよ。
を求めよ。
B
y
0
1
D
x
1
C
-1
AD
(3)他の辺についても同様に積分を求め、正方形の周囲全体で
 A  dl
を求めよ。
C
5
線積分の問題の解答
 A  dl
y
C
ベクトル場 A  ( y, x) を図にしてみる。
ベクトルの長さは短く書いている。
0
x
(1) dl はAD上で水平なのでdxに比例。
左方向なのでベクトル(-1, 0)をかける。
(2)
dl  (1,0)dx
AD上でy=1なので、A  (1, x)
A  dl  dx
y
A
1
D
これをAD上で積分すると-2。なぜなら
1dx x  1  (1)  1  1  2
(3)他の辺でも、 Aとdl の向きが
1
1
1
逆なので、全て負になる。１周で-8.
-1
B
0
x
1
C
-1
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解答補足：なぜ dl  (1,0)dx か
dl  (2,0)dx
dl
dx
でないのはなぜか
は積分すると「長さ」になるベクトル。
を積分すると長さになる。
そのため、dxにかけるベクトルは、
長さ１のベクトルである必要。
ここから
ストークスの定理
8
ストークスの定理
後で電磁気で使います。
ベクトル場Ａに対して
)  dS
 A  dl   (rot A　C
S
(1)
dS
表面に垂直、外向きのベクトル
dS
Cは曲面Sの周囲
問題微小長方形（１辺Δx, Δy)に関して、 y
(1)式の左辺と右辺をそれぞれ書いて変形し、
(1)が成立することを示せ。
dl
Δy
Δx
x
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divとrotの意味
y
y
2
11 2
0
2
11 2
0
x
rot A  (0,0,0)
回転していないベクトル場は、
rot A がゼロになる。
x
rot A  (0,0,2)
回転しているベクトル場は、
rot A が回転面に
垂直方向になる。
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ストークスの定理の意味面Ｓでのベクトル場の回転を
右辺
２通りの方法で表現している。
(rot
A
)
d
S

dS  ndS
S
rot A
は回転を表すベクトル。
面Sの法線方向の成分
( rot A)  n
は、面Ｓでの回転を表す。
rot A
回転していない場では、
rot A  0
回転している場では、
が回転面と
垂直方向になる。 11
rot A
ストークスの定理の意味
 A  dl
左辺
C
A
A  dl  0
dl
回転していない場では、
経路上の微小ベクトルとの
内積がゼロになる。
A
A  dl  0
dl
ベクトル場が回転していると、
内積が値を持つ。
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前問の解答
)  dS
 A  dl   (rotA　C
を示したい。
S
正方形の上と下で左辺を考える。
y+Δy
y
上辺で
Δy
Δx
0
dl  (dx,0,0) A  ( Ax , Ay , Az )
x
x+Δx
内積を取ると、 A の３成分のうち、x成分のみ残る。
上辺ではyの座標は、Δyだけ大きいので、
A  dl   Ax ( x, y Δy, z)dx
下辺で
dl  (dx,0,0)
(1)
A  dl  Ax ( x, y, z)dx
x,y,zの関数の意味
1変数ならf(x)
(2)
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前問の解答
前のページのの(1)と(2)を加える。dxをΔxと書くと、
 Ax ( x, y Δy, z)  Ax ( x, y, z)x
(3)
Ax
Ax ( x, y Δy, z )  Ax ( x, y, z )
 lim
y Δy0
Δy

A
でlimを省略すると、 A ( x, y Δy, z )  A ( x, y, z )  x Δy
x
x
y

A
よって(3)は
 x ΔxΔy
(4)
y
微分の式
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前問の解答
今度は左右の辺で同じことをすると、
Ay
x
ΔxΔy
(5)
(4)と(5)を加えると、
 Ay Ax 

 xy  rot A z xy
 x y 
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ストークスの定理の補足
長さの単位をm（メートル）とした時に、
ストークスの定理の両辺の単位が何になるか、
説明して下さい。
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ガウスの定理（divergence)
以前見せたパワーポイント
ベクトル場Ａに対して
A

d
S

(div
A
)
dV


S
表面積全体の
積分
V
S
(1)
V
わきだし
体積内の積分
これがヒント。
補足：コメント「面積積分＝体積積分が疑問」について
両辺の単位を比較してみる。
divは場所に関する微分が入っている。
両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。
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ストークスの定理の場合
A

d
l

(
rot
A
)

d
S


C
S
左辺は長さの積分なので、
単位は(Ａの単位) ×m
右辺の面積積分の単位は、m2
rotA
は微分が含まれているので、
単位は,（Ａの単位）/m
よって右辺の単位は
（Ａの単位）/m × m2 = （Ａの単位）×
左辺の単位と等しくなる。
m
になり、
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