2014 年度後期応用数学４確認問題 10（解答） 2014 年 12 月 12 日配布作成者：若杉勇太学籍番号：氏名： 10．勾配，発散，回転に関する諸公式問 10.1 φ(x, y, z) = x + y + z, A = xi + yj + zk に対して，div(φA) を求めよ． [解] div(φA) = (∇φ) · A + φ(∇ · A) = (i + j + k) · (xi + yj + zk) + (x + y + z) · 3 = 4(x + y + z). 問 10.2 A = xi + yj + zk, B = i − j に対し，rot(A × B) を求めよ． [解] rot(A × B) = (B · ∇)A − (∇ · A)B ( ) ∂ ∂ = − (xi + yj + zk) − 3B ∂x ∂y = i − j − 3 (i − j) = −2i + 2j. 1 問 10.3 スカラー場 φ = φ(x, y, z) およびベクトル場 A = A(x, y, z) = (Ax , Ay , Az ) に対し， div(φA) = (∇φ) · A + φ(∇ · A) を示せ． [解] div(φA) = div (φAx i + φAy j + φAz k) ∂ ∂ ∂ (φAx ) + (φAy ) + (φAz ) ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂φ ∂Ay ∂φ ∂Az ∂φ Ax + φ + Ay + φ + Az + φ = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ) ( ) ( ∂φ ∂φ ∂φ ∂Ax ∂Ay ∂Az = Ax + Ay + Az + φ + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z = (∇φ) · A + φ(∇ · A). = 問 10.4 ベクトル場 A = A(x, y, z) = (Ax , Ay , Az ), B = B(x, y, z) = (Bx , By , Bz ) に対し， grad(A · B) = (B · ∇)A + (A · ∇)B + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) を示せ． [解] ∂ (Ax Bx + Ay By + Az Bz ) ∂x ∂Ax ∂Bx ∂Ay ∂By ∂Az ∂Bz = Bx + Ax + By + Ay + Bz + A z . ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (grad(A · B))x = 一方， ( ) ∂ ∂ ∂ ((B · ∇)A)x = Bx + By + Bz Ax ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ax ∂Ax + By + Bz , = Bx ∂x ∂y ∂z ((A · ∇)B)x = Ax ∂Bx ∂Bx ∂Bx + Ay + Az , ∂x ∂y ∂z (A × (∇ × B))x = Ay (rot B)z − Az (rot B)y ) ( ) ( ∂By ∂Bx ∂Bx ∂Bz = Ay − − Az − , ∂x ∂y ∂z ∂x (B × (∇ × A))x = By (rot A)z − Bz (rot A)y ( ) ( ) ∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az = By − − Bz − ∂x ∂y ∂z ∂x から，x 成分について求める等式が成立することが分かる．y, z 成分についても同様． 2