◆ はじめに ◆ みなさん，こんにちは。マセマの馬場敬之（ばばけいし）です。これまで発刊した大学物理学『キャンパス・ゼミ』シリーズは多くの方々にご愛読頂き，大学物理学学習の新たなスタンダードとして定着してきたようです｡そして，今回新たに「電磁気学キャンパス・ゼミ（改訂１）」を上梓することが出来て，心より嬉しく思っています。これから解説する“電磁気学”は，クーロン，アンペール，ファラデー，マクスウェルらによって創始され，体系化されました。ファラデーの業績は電気力線や磁力線の考案，電磁誘導の法則の発見などなど …，枚挙に暇がありません。しかし，貧しい家に生まれた彼はデイヴィーに見出されるまで製本屋の店員として働いていたため，数学的な教育をほとんど受けられませんでした。そのため，彼の数百にも及ぶ素晴らしい論文の中に１つの微分方程式も登場していないといいます。対照的に，マクスウェルは応用数学の天才的な達人で，様々な電磁気学の現象を数学的に記述して，４つのマクスウェルの方程式にまとめたことはあまりにも有名な話です。そう…，このマクスウェルの方程式：（Ⅰ）div D = ρ （Ⅱ）div B = 0 （Ⅳ）rot E = − ∂∂B t を導き，その意味を理解し，そしてこれを使いこなしていくことが，大学の電磁（Ⅲ）rot H = i ＋ ∂∂D t 気学の主要テーマなのです。洗練された理論というものは，見た目にはシンプルで美しいものです。しかし，これを本当に理解するには，ガウスの発散定理やストークスの定理などのベクトル解析の知識，および偏微分方程式の解法などなど…，様々な数学的な知識が要求されます。何故なら，マクスウェルの方程式はこれらベクトル解析の言葉で記述されており，またこれを解こうとすると，ラプラスの方程式などの偏微分方程式が現れるからです。これが電磁気学をマスターしようとする方々が，途中で諦めてしまう主な原因なのです。 2 そうはならないよう，この実り豊かで魅力的な電磁気学をどなたでもマスターできるよう，電磁気学のイメージと数学的な解説のバランスの良い参考書を作るため，共著者の高杉豊先生と日夜検討に検討を重ねながら，この「電磁気学キャンパス・ゼミ（改訂１）」を書き上げました。数学専門の出版社だからこそ，読者の目線に立った日本一分かりやすい電磁気学の参考書ができたと，秘かに自負しています。読者の皆様のご批評をお待ちしております。この「電磁気学キャンパス・ゼミ（改訂１）」は，全体が５章から構成されており，各章をさらにそれぞれ１０∼２０ページ程度のテーマに分けているので，非常に読みやすいはずです。電磁気学は難しいものだと思っている方も，まず１回この本を流し読みすることをお勧めします。初めは難しい公式の証明などは飛ばしても構いません。勾配ベクトル，発散，回転，ガウスの発散定理，ストークスの定理，電場（電束密度），磁場（磁束密度），静電エネルギー，磁場のエネルギー，電気双極子，アンペールの法則，ビオ - サバールの法則，ベクトル・ポテンシャル，電磁誘導の法則，さまざまな回路，マクスウェルの方程式，波動方程式，ダランベールの解，電磁波などなど…，次々と専門的な内容が目に飛び込んできますが，不思議と違和感なく読みこなしていけるはずです。この通し読みだけなら，おそらく２週間もあれば十分のはずです。これで電磁気学の全体像をつかむ事が大切なのです。１回通し読みが終わりましたら，後は各テーマの詳しい解説文を精読して，例題を実際に自分で解きながら，勉強を進めていって下さい。この精読が終わりましたならば，後は自分で納得がいくまで何度でも繰り返し練習することです。この反復練習により本物の実践力が身に付き，「電磁気学も自分自身の言葉で自在に語れる」ようになるのです。こうなれば，「電磁気学の単位も，大学院の入試も，共に楽勝のはずです！」この｢電磁気学キャンパス・ゼミ（改訂１）」により，皆さんが奥深くて面白い本格的な物理学の世界に開眼されることを心より願ってやみません。今回，この「電磁気学キャンパス・ゼミ（改訂１）」の制作に，マセマのメンバーの久池井茂先生，印藤治氏，滝本隆氏，野村直美氏，滝本修二氏，野村大輔氏，瀬口訓仁氏が大いに活躍をして下さいました。ここに心より謝意を表します。 ( 今回の改訂１では，磁場とベクトル・ポテンシャルを積分形で書き換えました。 ) けいしマセマ代表馬場敬之高杉豊 3 ◆ 目次 ◆ 講義１電磁気学のプロローグ § 1. 電磁気学のプロローグ …………………………………………8 § 2. スカラー場とベクトル場 ……………………………………18 § 3. ベクトル解析の基本（I）………………………………………28 § 4. ベクトル解析の基本（II） ………………………………………40 ● 電磁気学のプロローグ公式エッセンス ………………………48 講義２静電場 § 1. クーロンの法則からマクスウェルの方程式へ ………………50 § 2. 電位と電場 ………………………………………………………64 § 3. 導体 ……………………………………………………………80 § 4. コンデンサー …………………………………………………94 § 5. 誘電体 …………………………………………………………110 ● 講義３静電場公式エッセンス ………………………………………126 定常電流と磁場 § 1. 定常電流が作る磁場 …………………………………………128 § 2. ビオ - サバールの法則とベクトル・ポテンシャル ………140 § 3. アンペールの力とローレンツ力 ……………………………160 ● 4 定常電流と磁場公式エッセンス ……………………………172 講義４時間変化する電磁場 § 1. アンペール - マクスウェルの法則 …………………………174 § 2. 電磁誘導の法則 ………………………………………………180 § 3. さまざまな回路 ………………………………………………196 ● 講義５時間変化する電磁場公式エッセンス ………………………214 マクスウェルの方程式と電磁波 § 1. 波動方程式 ……………………………………………………216 § 2. ダランベールの解 ……………………………………………222 § 3. 電磁波 …………………………………………………………232 ● マクスウェルの方程式と電磁波公式エッセンス …………243 ◆ Term・Index（索引） ……………………………………………………244 5 §3．電磁波さァ，前回までの講義で準備も整ったので，マクスウェルの方程式と，電場と磁場の波動方程式を解いて，電磁波が生じることを示してみよう。もちろん，一般論として解くと計算が繁雑になるので，ここでは本質が分かりやすくなるように，単純化したモデル ( 1 次元波動方程式 ) を解いていくことにする。その結果，電場の波動と磁場の波動が互いに直交すること，およびこの 2 つの波動が完全に同じ形状になることなど，面白い電磁波の性質が次々と明らかになっていく。楽しみにしてくれ。さらに，電磁波が真空中を伝播していくことにより，電場と磁場のエネルギーの流れが生じる。ここでは， “ ポインティング・ベクトル ”も含めて，詳しく解説しよう。 ● 電磁波を求めてみよう ! 電磁波を求めるためのマクスウェルの方程式： ( ⅰ) div E ＝ 0 …………… ( ＊ 1 ) ´ 具体的には， E 1x ＋ E 2y ＋ E 3z ＝ 0 ( ⅱ) div H ＝ 0 …………… ( ＊ 2 ) ´ 具体的には， H 1 x ＋ H 2y ＋ H 3z ＝ 0 ´ ( ⅲ) rot H ＝ ε 0 ∂∂E t ……… ( ＊ 3 ) ( ⅳ) rot E ＝ − μ 0 ∂∂H t …… ( ＊ 4 ) ´ を用いて， { E と磁場 H の波動方程式： ∂ 2E Δ E ＝ ε 0μ 0 …… ( ＊ f 0 ) 電場 Δ H ＝ ε 0μ 0 ∂ t2 ∂ 2 H …… ( ＊ g ) を導いた。 0 ∂ t2 ここで，ε 0μ 0 は速度の 2 乗の逆数の単位 [ s /m 2 2 ] をもち，かつ，これが 1 ε 0μ 0 ＝ 2 ( c：光速 ( 約 3 × 1 0 8 ( m /s ))) となることが実験的に分かっている c ので， ( ＊ f 0 ) ， ( ＊ g 0 ) を次のように表すことができる。 232 ● マクスウェルの方程式と電磁波 ΔE＝ 2 2 1 ∂ E 1 ∂ H …… ( ＊ f 0 ) ´ Δ H ＝ 2 … … ( ＊ g 0) ´ c ∂ t2 c2 ∂ t2 具体的には次の 3 つの方程式を表す。具体的には次の 3 つの方程式を表す。 1 E 1xx ＋ E 1yy ＋ E 1zz ＝ 2・E 1tt … … ① c 1 E 2xx ＋ E 2yy ＋ E 2zz ＝ 2・E 2tt … … ② c 1 E 3xx ＋ E 3yy ＋ E 3zz ＝ 2・E 3tt … … ③ c 1 H 1x x ＋ H 1y y ＋ H 1z z ＝ 2・H 1t t …… ( a ) c 1 H 2x x ＋ H 2y y ＋ H 2z z ＝ 2・H 2t t …… ( b ) c 1 H 3x x ＋ H 3y y ＋ H 3z z ＝ 2・H 3t t …… ( c ) c E と磁場 H は，共に 4 つの変数 x ，y ，z ，t の関数，すなわち E ( x ，y ，z ，t ) ，H ( x ，y ，z ，t ) となるんだけれど，ここではモデルを単純化して， E も H も共に x と t 以上が，電磁波を求めるための方程式なんだね。本来，電場 4 4 4 のみの 2 変数関数，すなわち， { E ( x ，t ) ＝ [ E 1 ( x ，t ) ， E 2 ( x ，t ) ， E 3 ( x ，t ) ] … …④ H ( x ，t ) ＝ [ H 1 ( x ，t ) ， H 2 ( x ，t ) ， H 3 ( x ，t ) ] … … ⑤ として，これから解いていくことにしよう。これは，後に明らかになるんだけれど， yz 平面と平行な平面上で電荷を変動させたときにできる電磁波の平面波モデルになるんだよ。ここで， ( ＊ f 0) ´ と ( ＊ g 0) ´ の E と H の 2 つの波動方程式が与えられているけれど，これらは互いに独立に存在するわけではない。 (＊1)´ ∼ (＊4)´ 4 4 4 4 4 のマクスウェルの方程式により，密接な関係をもっていることに気を付けよう。では，解いていくよ ! まず，E と H が， ④ と ⑤ で示すように x と t の 2 変数関数なので， ( ⅰ)( ＊ 1 ) ´ より， E 1 x ＋ E 2y ＋ E 3 z ＝ 0 ∴ ∂∂Ex 1 ＝ 0 … … ⑥ となる。 ∂ E2 ＝0 ∂y ∂ E3 ＝0 ∂z E 2 ， E 3 も x と t のみの関数より， y や z で偏微分すると 0 になる。 ( ⅱ)( ＊ 2 ) ´ より， H 1 x ＋ H 2y ＋ H 3 z ＝ 0 ∴ ∂∂Hx 1 ＝ 0 … … ⑦ となる。 ∂ H2 ＝0 ∂y ∂ H3 ＝0 ∂z H 2 ， H 3 も x と t のみの関数より， y や z で偏微分すると 0 になる。 233