微分積分II ( b ∼ h): 演習問題 No. 8

微分積分 II ( b ∼ h ) : 演習問題 No. 8
• 以下の問題のうち指定された問題のみを時間内に解答して提出せよ．
• 残りの問題は自主教材とする．次回の授業までに必ず解いておくこと．
1 ベクトル場 a = xyz(i + j + k) に対して次を求めよ．
(1) div a
(2) grad(div a)
(3) rot a
(4) rot(rot a)
2 定ベクトル c = c1 i + c2 j + c3 k と位置ベクトル r = xi + yj + zk に対し，ベク
トル場 a を a = c × r で定めるとき次を求めよ．
(1) div a
(2) rot a
3 ベクトル場 a = (x + 3y)i + (y − 2z)j + (x + αz)k の発散 div a が 0 となるよ
うに定数 α の値を定めよ．
4 ベクトル場 a = (x + 2y + αz)i + (βx − 3y − z)j + (4x + γy + 2z)k の回転 rot a
が 0 となるように定数 α, β, γ の値を定めよ．
√
5 位置ベクトル r = xi + yj + zk に対し，r = ∥r∥ = x2 + y 2 + z 2 とするとき，
次を求めよ．
(1) grad r ( r ̸= 0 )
(2) grad
1
( r ̸= 0 )
r
(3) div(rn r) ( r ̸= 0 )
6 a を C 2 級のベクトル場とするとき，次の等式を証明せよ．
rot(rot a) = −∆a + grad(div a)
ここで，a = a1 i + a2 j + a3 k に対して
∆a = (∆a1 ) i + (∆a2 ) j + (∆a3 ) k
と定める．

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