1－1 a × (b × c) と ( a × b) × c は等しいか？ 1－2 a · (b × c) = b · (c × a

１－１
a × (b × c) と (a × b) × c は等しいか？
１－２
a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b)
a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
を示せ。
１－３
ϕ はスカラー場、A はベクトル場である。
div (ϕ A) = ϕ div A + A grad ϕ
div (A × B) = B ・rot A − A・ rot B
rot (ϕ A) = ϕ rot A − A × grad ϕ
div rot A = 0
rot grad ϕ = 0
を示せ。
１－４
以下のベクトル場の div と rot を求めよ。
(1,1,1),
(x,x,x),
(x,y,z),
(y,z,x),
(z,x,y),
(−y + z,x,−x)
１－５
以下のベクトル場の div と rot を求めよ。原点で微分可能になるのはどういう場合か。
rot の z 成分がゼロになるのは n がいくつの時か。(n は実数)
１－６
以下のベクトル場の div と rot を求めよ。原点で微分可能になるのはどういう場合か。div がゼ
ロになるのは n がいくつの時か。(n は実数。1-5 とは cos sin が逆になっている。)
１－７
以下のベクトル場の div と rot を求めよ。原点で微分可能になるのはどういう場合か。
div がゼロになるのは n がいくつの時か。（極座標の例）
(Ax,
Ay,
Az) = (rn+1 sinθcosϕ,
ただし
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
x = rsinθcosϕ,
y = rsinθ sinϕ,
z = rcosθ
rn+1 sinθsinϕ,
rn+1 cosθ)
１－８
ポプラの木の枝のような、z 軸から伸びるときに z の正方向に傾いているようなベクト
ル場の例を (x,y,z) で書け。また、傾き一定の条件をつけるとどうなるか。
１－９
直線
から、直線と垂直方向に発散するようなベクトル場の例を作れ。(z 軸のまわりの簡単な例を作っ
てから座標変換する。)
１－１０
z 軸のまわりを回転するベクトル場の例を一つ挙げ、それを元に、xz 平面内で x=5
で表される直線のまわりを回転するベクトル場を作れ。
１－１１
z 軸のまわりを回転するベクトル場の例を一つ挙げ、それを元に、xz 平面内で z
軸から角度 θ 傾いた直線のまわりを回転するベクトル場を作れ。さらに、極座標の (θ,ϕ) の方
向の直線の周りを回転するようなベクトル場の例を作れ。
１－１２
R を任意の 3 次元回転行列とする。A,B をベクトルとするとき、
𝑅(𝐴 × 𝐵) = (𝑅𝐴) × (𝑅𝐵)
は、幾何学的に明らかである。これを幾何学的考察をできるだけ用いないで、例えば成分分けで示
してみよ。
（成分分けでできなかった場合は、なるべく幾何学的考察を用いず示す方法を探してみ
よ。
）
１－１３
(1)2 次元のスカラー場𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑦 2 の grad を求めて、そのベクトルが等高線と直交すること
を示せ。
(2)(1)を一般に示せ。
(3)方向微分を以下のように定義する。長さ 1 のベクトル(a,b)があったとき、
𝑑𝑓(𝑥 + 𝑡𝑎, 𝑦 + 𝑡𝑏)
𝑑𝑡
を(a,b)方向の方向微分と呼ぶ。方向微分の最小値を与えるのは、(a,b)が
𝜕𝑓 𝜕𝑓
−(
, )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
と同じ方向であるときで、そのときの値は
𝜕𝑓 2
𝜕𝑓 2
−√( ) + ( )
𝜕𝑥
𝜕𝑦
であることを示せ。
１－１４
(1)内積に似た演算を考案しようとして、例えば２次元で内積２号として
(𝑎𝑥 𝑎𝑦 )∎(𝑏𝑥 𝑏𝑦 ) = 𝑎𝑥 𝑏𝑦 + 𝑎𝑦 𝑏𝑥
という演算を定義する。座標系の回転に対して、内積 2 号の値はどう変化するか。座標系の回転に
対して、普通の内積の値はどう変化するか、ということと比較せよ。
(2)grad の２号として、以下のベクトルみたいなものはベクトルと言えるか？言える、言えないのど
ちらかを答えて、その理由を説明せよ。
(
𝜕ℎ(𝑥, 𝑦) 𝜕ℎ(𝑥, 𝑦)
,
)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(3) 例えば２次元で内積 3 号として
(𝑎𝑥 𝑎𝑦 )∎(𝑏𝑥 𝑏𝑦 ) = 𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥
だったらどうか？
(4) 3 次元空間で内積は任意の回転に対して不変であることを示せ。
１－１５
半径 a の球があって、電荷の密度分布が中心からの関数で
ρ(r) = brn
の場合。まず電荷が有限になる条件は何か。その条件で電位と電場を求めよ。
１－１６
平行平板コンデンサを３つ用意して直列につなぐ。はしからＣ１、Ｃ２、Ｃ３とよぶ。Ｃ１とＣ２
の間にＱ４の電荷を入れ、さらにＣ２とＣ３の間にはＱ５の電荷を入れた。３つのコンデンサの各
板（６つある）にある電荷を求めよ。
１－１７
直線状電荷があって、単位長さあたりの電荷がρであった。まわりの電位と、電場ベクトルを求め
よ。
１－１８
半径 a の円上に一様に電荷がある。電荷の線密度を ρ0 とする。まわりの電位、電場を計算する
式をかけ。積分可能なのはどういう場合か。
１－１９
同心球型コンデンサの容量を求めよ
１－２０
同軸型コンデンサの容量を求めよ。
１－２１
q と −q の電荷が l だけの距離をおいて配置されているとき、十分遠い位置での電位、電場を求
めよ。
（磁気のところで磁気モーメントとして出てくる。
）

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