複素解析 I 演習 (第 6 回) 略解 √ 6-1 (1) z = ± 10i は円 |z − i| ≦ 2 の外部にあるので，f (z) = 正則である．よって，(a) コーシーの積分定理より 0． 1 はこの円の十分小さい近傍を考えると，そこで z 2 + 10 (2) f (z) = 1 として (b) コーシーの積分公式を用いると，2πi × f (2i) = 2πi. ∫ 1 1 z+2i (3) dz と変形すると，f (z) = は円 |z − i| ≦ 2 の十分小さい近傍で正則だから，(b) コーシーの積 z − 2i z + 2i |z−i|=2 分公式を用いると 2πi × f (2i) = π2 ． 1 (4) z = ±2i は円 |z| ≦ 1 の外部にあるので f (z) = 2 は円 |z| ≦ 1 の十分小さい近傍で正則である．よって，(a) コー z +4 シーの積分定理より 0． 1 ∫ 1 2 (5) |z|=1 (z+3) dz と変形する．f (z) = は |z| ≦ 1 の十分小さい近傍で正則である．よって，(b) コーシーの積 z (z + 3)2 分公式を用いると，2πi × f (0) = 2πi 9 ． 1 ∫ 1 (z+3)2 (6) |z|=1 z2 dz と変形する．f (z) = は |z| ≦ 1 の十分小さい近傍で正則である．よって，(c) 導関数の積分 (z + 3)2 による表示を用いることができて，2πi × f ′ (0) = − 4πi 27 ． ∫ ∫ ∫ f (z)dz + f (z)dz − f (z)dz = 0. 6-2 (1) C1 C3 ∫ ∫ R C2 ∫ R ∫ R 2π π 1 i (2) f (z)dz = e−t 2 i e 4 i dt = √ (cos(t2 )dt + sin(t2 ))dt + √ (cos(t2 )dt − sin(t2 ))dt より， 2 2 C 0 0 0 ∫3 I −J I +J lim f (z)dz = √ + √ i. R→∞ C 2 2 3 ∫ ∫ ∫ π/4 ∫ π/4 R π/2 −R2 sin θ R π/2 −R2 cos θ −Rs e2θi θi −Rs cos(2θ) (3) e iRe dθ ≦ e dθ = e dθ e Rdθ = 2 0 2 0 0 ∫0 π/2 2 2R2 π R e− π θ dθ = (1 − e−R ) → 0 (R → ∞). ≦ 2 0 4R I −J π I +J (4) 以上を合わせると， √ + √ i = となるから，実部と虚部を比べて結論を得る． 2 2 2 6-3 関数 f の z = a における留数を Res(f ; a) と書く． (1) z = −1 を 1 位の極とし，Res(f1 ; −1) = lim (z + 1)f1 (z) = 3． z→−1 ( )′ (2) z = −1 を 2 位の極とし，Res(f2 ; −1) = lim (z + 1)2 f2 (z) = −2． z→−1 eiz − e−iz (3) sin(z) = = 0 となるのは e2zi = 1 のときで z = nπ (n = 0, ±1, ±2, ...) である．また，sin(z) の z = nπ に 2i おけるテイラー展開は cos(nπ) = (−1)n より sin(z) = (−1)n (z − nπ) − (−1)n (z − nπ)3 + · · · 3! となるので，f3 (z) の極 nπ は 1 位である．これから，Res(f ; nπ) = limz→nπ z−nπ sin(z) = (−1)n (n = 0, ±1, ±2, ...)． 6-4 (1) C, C ′ を a を出発点，b を終点とする自分と交わらない曲線とし，C ∪ (−C ′ ) が単純閉曲線となるものとする．すると，コーシーの積分定理より ∫ ∫ ∫ f dz = f dz − f dz = 0 C∪(−C ′ ) C が成り立ち， ∫ ∫ f dz = C C′ f dz C′ となる． 1 eπ + 1 1 1 (2) (e(1+i)π − 1) = − ．− (cos(2π(1 + i)) − 1) = − (eπ − e−π )2 . π π 2π 4π (1) を用いて C として線分 {(1 + t); 0 ≦ t ≦ 1} をとって複素積分を計算しても良い．