解析入門演習問題6（2016年後期半年使用）

練習問題６（科目名解析入門ＩＩＣ/１１月１４日）
出題者澤野嘉宏
氏名合計点点
学修番号 ○ １５１７２０ ○ １５１７５０ ○ １１７（その他）.
1. テーラー展開
∞
∞
∞
∑
∑
∑
問題 1.1. ez , cos z, sin z を与える級数を【ア】
an z n 【イ】
an z 2n 【ウ】
an z 2n+1 の
n=0
n=0
n=0
形のうちのどれかで表せ．また，
【ア】，
【イ】，
【ウ】どの形式を用いた場合でも，ez , cos z, sin z
のそれぞれについて，a0 , a1 , a2 を具体的な値を求めよ．
問題 1.2. 次の関数の原点における零点の位数を求めよ．
(1) f (z) = z 3 + 4z, (2) f (z) = z sin z, (3) f (z) = z 2 (1 − cos z)
【注意】正則（＝微分可能）関数 f につき，
f (z) = am z m + am+1 z m+1 + · · ·
と展開したときに am ̸= 0 が成り立つような m の値を原点における零点の位数という．
問題 1.3. 次の関数の原点における極の位数を求めよ．
1
z2 + 1
1 + z2
1
,
(2)
f
(z)
=
,
(3)
f
(z)
=
, (4) f (z) =
3
4
z
z
z
sin z
【注意】z = 0 以外では正則な関数 f につき，
(1) f (z) =
lim z m f (z)
z→0
が定まるような m の値を原点における極の位数という．
【中間試験の範囲は位数まで】
2. 線積分
(1) a → b は点 a から点 b までの線分を表す．
(2) ∂∆(r) は点 0 中心，半径 r > 0 の円周を表す．
(3) ∂∆(a, r) は点 a 中心，半径 r > 0 の円周を表す．
６３ページ例４．３∼４．５，例題２９
問題 2.1. 始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
∫
∫
∫
(1)
z dz, (2)
(2z + z) dz, (3)
(z + 1) |dz|
3→3i
2i→6i
∂∆(1)
1
練習問題６
2
６３ページ例４．２，例題２８
問題 2.2. 始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
I
I
I
(1 + i)dz
dz
dz
(1)
, (2)
, (3)
z
∂∆(3)
∂∆(2+i,5) z − 2 − i
∂∆(4,1) z − 4
６３ページ例４．３
問題 2.3. 始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
I
I
I
I
dz
13dz
4
(1)
(z
−
3)
dz,
(3)
z
,
(2)
dz(4)
8
∂∆(2) z
∂∆(3,5)
∂∆(11)
∂∆(−2i,2) z + 2i
６８ページ例題３０
問題 2.4. 始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
(1) z tan z は 2|Re(z)| < π では正則である．このことを利用して，C I
を 1, 1 + i, −1 − i, −1 −
(2)
(3)
(4)
(5)
i, −i, 0, 1 をこの順番に回ることによって得られる折れ線として， z tan z dz を求めよ．
C
I
cos z が正則関数であることを利用して，
cos z dz を求めよ．
I ∂∆(11)
ez が正則関数であることを利用して，
ez dz を求めよ．
∂∆(1,3)
I
sin z が正則関数であることを利用して，
sin z dz を求めよ．
∂∆(4)
I
1
1
は Re(z) > 0 では正則であることを参考にして，
dz を求めよ．
z
∂∆(5,3) z
７２ページ定理４．１２
問題I2.5. 始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
I
I
I
1
1
6i
1
(1)
dz (2)
dz (3)
dz (4)
dz
|z|=8 z − 7
|z−6|=11 z − 3
|z+7i|=10 z + 1
|z+7i|=10 z + 1
７２ページ定理４．１３
問題 2.6. C を 1 − i, 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i をこの順番に回ることによって得られる折れ線
とする．始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
I
I
I
ez
cos z
z4
(1)
dz (2)
dz (3)
dz
|z|=3 z − 2
|z|=2 z − 1
C z+1
７２ページ例題３１
I
問題 2.7. 始点と終点を含めて積分経路を図示して，さらに次の線積分を求めよ．
|z−1|=3
1
dz
z(z + 1)
練習問題６
問題 1.1. ez =
∞
∞
∞
∑
∑
∑
zn
(−1)n z 2n+1
(−1)n z 2n
, sin z =
, cos z =
n!
(2n + 1)!
(2n)!
n=0
n=0
n=0
1
• ez に対しては a0 = a1 = 1, a2 =
2
1
1
• cos z に対しては a0 = 1, a1 = − , a2 =
2
24
1
1
• sin z に対しては a0 = 1, a1 = − , a2 =
6
120
問題 1.2. (1) 1 (2) 2 (3) 4
問題 1.3. (1) 3 (2) 4 (3) 1 (4) 1
問題 2.1.
∫
∫
1
1
(3 + (3i − 3)t)(3i − 3) dt = (3 + 3i)(3i − 3) = −9
2
0
∫3→3i
∫ 6
(2)
(2z + z) dz =
iti dt = −16
∫2i→6i
∫2 2π
(3)
(z + 1) |dz| =
(ieit + 1)|ieit | dt = 2π
(1)
z dz =
∂∆(1)
0
問題 2.2. (1) 2πi(1 + i), (2), (3) 2πi
問題 2.3. (1), (2), (3) 0, (4) 26πi
問題 2.4. (1), (2), (3), (4) 0 (5) 2πi
問題 2.5. (1) 2πi, (2) 2πi, (3) −12π (4) 2πi
問題 2.6. (1) 2πe3 i, (2) 2πi cos 1, (3) 2πi
問題 2.7. 0
3

Download Report