速修 物理数学の応用技法（第 1 版第 1 刷）について
読者の皆様にはご迷惑おかけいたしますが、以下の通り補足、訂正いたします。
（2015 年 2 月 21 日青字最新更新）
全体的に、いくつか記号のルールについて説明が不足していたので、こちらの表で補足。
記号
意味
R
実数全体の集合
Z
整数全体の集合
N
自然数全体の集合
C
複素数全体の集合
また、数ベクトルを書き表す際に ⃗
x ではなく x のように太字で記します。
p11 ( )
a
(a + b)!
誤：
=
b
a!b!
( )
a
a!
正：
=
b
(a − b)!b!
p11
この例題自体が不自然でした……。
「xn を n − k 階微分したものを xn(n−k) で表すことにします」としていますが、不自然な表記なので (xn )(n−k)
と表記しなおしていただき、その上で以下の訂正をお願いします。
誤：
∑
∑
dn n
[x sin x] =
xn(n−k) (sin x)(n) =
n(n − 1) · · · (n − k + 1) sin(x +
n
dx
n
n
k=0
ℓπ
2 )
k=0
正：
n ( )
n ( )
∑
∑
n
dn n
n
n (n−k)
(k)
n(n − 1) · · · (n − k + 1) sin(x +
[x sin x] =
(x )
(sin x) =
k
dxn
k
k=0
k
kπ
2 )x
k=0
コメント：以下のような例を考えた方が遥かに良いです……。
d2
2
(xe−x ) を計算せよ。
dx2
( )
d2
2 ′ −x2 ′
2
2
2
2
−x2
′′ −x2
解答 (xe
)
=
x
e
+
x (e
) + x(e−x )′′ = −4xe−x + x(e−x )′′ となり、ここで (e−x )′′ =
dx2
1
d2
2
2
2
2
2
2
(−2xe−x )′ = −2e−x + 4x2 e−x となることから、答えは 2 (xe−x ) = −6xe−x + 4x3 e−x となる。
dx
例題 p12
誤：証明は付録にまわし、
正：証明は付録にまわし、
p17
誤：
（注意） 実数 s に対して、次の正項級数和 ζ(s) が収束することを確認しておきます。
正：
（注意） s > 1 に対して、次の正項級数和 ζ(s) は収束することが知られています。
p23
誤：つまり、x sin x = (x cos x)′ + cos x の両辺を積分すればよいので、答えは次のようになります。
∫
∫
x sin xdx = x cos x −
cos xdx = x cos x − sin x
1
正：つまり、x sin x = (−x cos x)′ + cos x の両辺を積分すればよいので、答えは次のようになります。
∫
∫
x sin xdx = −x cos x +
cos xdx = −x cos x + sin x
p28
誤：ガウス積分は重積分の章の最後に再び現れます。
正：ガウス積分は 49 ページで再び現れます。
p29
誤：(3) は
∫
∞
Γ(1/2) =
√
e−x xdx = 2
∫
0
正：(3) は
∞
e−t dt (x = t2 で置換)
2
0
∫
∞
Γ(1/2) =
0
e−x
√ dx = 2
x
∫
∞
e−t dt (x = t2 で置換)
2
0
p29
誤：(4) は複素積分のテクニックを…
正：(5) は複素積分のテクニックを…
p29
誤：(5) の証明は省きます。
正：(4) の証明は省きます。
p32 2 の解答で
誤：· · · = 2f (x)
正：· · · = −2f (x)
p35 2 つめの例題
∂f ∂f
誤：
,
を求めよ。
∂x ∂x
∂f ∂f
,
を求めよ。
∂x ∂y
p37 1 行目
正：
誤：3 次以上でも同様です。
正：3 変数以上でも同様です。
p37 例題
誤：z = r sin ϕ
正：z = r cos ϕ
p38 8 行目
(
)
∞
∑
1
∂
∂
誤：f (x, y) =
(x − a)
+ (y − b)
n!
∂x
∂x
n=0
(
)
∞
∑ 1
∂
∂
(x − a)
+ (y − b)
正：f (x, y) =
n!
∂x
∂y
n=0
p39 解答で
誤：fy (x, y) = −4y + 4y 2
正：fy (x, y) = −4y + 4y 3
p41
誤：関数 L(x, ẋ) は x = x(t) なる関数を変数に持つとし、x(t1 ), x(t2 ) は定数とします。ẋ = dx/dt とし……
2
正：L(x, ẋ) は x = x(t) と ẋ =
p41
[
補足：
∂L
∂ ẋ
dx
dt
を変数に持ち、x(t1 ), x(t2 ) は定数とします。ẋ = dx/dt とし……
] t2
と記していますが、これは x(t) をどう変化させようと x(t1 ), x(t2 ) が常に定数に固定されて
t1
:::::::
=0
いるため、t = t1 , t2 で δx = 0 となることからきています。
p44
補足：注*9 について、多粒子系では ν は自然数ではなく、自然数の組みからなるインデックスを表します。
p53 2 の文中
誤：a は実数とする
正：a > 0 とする
p53 2 の文中
誤：r（全て）
正：a
p66 脚注*3
誤：(A − aI) = O
正：(A − aI)x = 0、ここで 0 はゼロベクトル。
p79
誤：a4 D(λ + 4) + c2 = 0
正：a4 D(λ + 4) + a2 = 0
p86 図中の式
誤：F (x − ∆x, y)
正：Fy (x − ∆x, y)
p94 2 つめの例題
誤：
∫
cos(π|x|)dx − sin(πx)2dx
（与式）=
C
∫ 2
[cos(πx) − 2 sin(πx)]dx
=
0
=
[
]2
1
sin(πx) + 2 cos(πx) = 0
π
0
正：
∫
cos(π|x|)dx − sin(πx)2xdx
（与式）=
∫
C
2
[cos(πx) − 2x sin(πx)]dx
=
0
=
[
]2
[
]2 ∫ 2
1
x
4
1
sin(πx) − 2 − cos(πx) −
cos(πx)dx =
π
π
π
0 π
0
0
p95
誤：経路 C が単一の閉曲線なら、
正：経路 C が閉曲線なら、
p101 17 行目
誤：
∫
r
−
dS · f (r) 3 = −
r
Vϵ
3
∫∫
dS · f (r)
∂Vϵ
1
r2
∫∫
正：
−
r
dS · f (r) 3 = −
r
∂Vϵ
∫∫
dS · f (r)
∂Vϵ
1
r2
p111 定理 9.3 の一番下の式
(9.12)
(
)
(
)
(
)
∂
∂
1
∂
h2 h3 ∂f
h3 h1 ∂f
h1 h2 ∂f
誤：∆f =
+
+
h1 h2 h3 [∂u1 ( h1 ∂u1 ) ∂u2 ( h2 ∂u2 ) ∂u3 ( h3 ∂u3 )]
1
∂
∂
h2 h3 ∂f
h3 h1 ∂f
h1 h2 ∂f
∂
正：∆f =
+
+
1
1
2
2
3
h1 h2 h3 ∂u
h1 ∂u
∂u
h2 ∂u
∂u
h3 ∂u3
p113∫
∫
誤：
ω=
dω
∫D
∫∂D
正：
ω=
dω
∂D
D
p114
∂B
と比較して…
∂t
∂B
正：マクスウェル方程式 ∇ · E +
= 0 と比較して…
∂t
p114
1 ∂E
1
誤：∇ · B − 2
=
j
c ∂t
ϵ0 c2
1 ∂E
1
正：∇ × B − 2
=
j
c ∂t
ϵ0 c2
p120 脚注
誤：マクスウェル方程式 ∇ · E +
誤：sin → arcsin
正：sin−1 → arcsin
p137 3 (2) の文中
誤： lim |zf (z)| = 0 が成り立つことを示せ。
R→+∞
正： lim |f (z)| = 0 が成り立つことを示せ。
R→+∞
p137 脚注
誤：f (ζ) → f (ζ)(ζ − z)n とおけば
正：f (ζ) → f (ζ)(ζ − z)n+1 とおけば
p138 2 の解答中
I
2
e−ζ
2 n!
誤：ez
dζ
2πi C (ζ − z)n+1
I
2
e−ζ
2 n!
正：(−1)n ez
dζ
2πi C (ζ − z)n+1
p138 2 の解答中
誤：
)n
2 I
2
2 I
2
∞
∞ (
∑
Hn (z)tn
ez
e−ζ ∑
t
ez
e−ζ
=
dζ
=
dζ
n!
2πi C ζ − z n=0 ζ − z
2πi C ζ − z − t
n=0
2
2 I
2
2
2
e−ζ
ez
dζ
= ez e−(z+t) = e−t −2zt
=
2πi C ζ − z − t
正：
)n
2 I
2
2
2 I
∞
∞ (
∑
Hn (z)tn
ez
e−ζ ∑
−t
e−ζ
ez
=
dζ
dζ
=
n!
2πi C ζ − z n=0 ζ − z
2πi C ζ − z + t
n=0
2 I
2
2
2
2
ez
e−ζ
=
dζ
= ez e−(z−t) = e−t +2zt
2πi C ζ − z + t
p138 3 (2) の解答中
4
誤：
π|z|
|(x + Ri)2 + a2 |
√
π x2 + R2
=
|(x + Ri)2 + a2 |
|zf (z)| =
·
1
| tan π(x + Ri)|
·
1 + tan2 πx tanh2 πR
tan2 πx + tanh2 πR
::::::::::::::::::::
正：
|f (z)| =
=
π
1
·
|(x + Ri)2 + a2 | | tan π(x + Ri)|
π
1 + tan2 πx tanh2 πR
·
|(x + Ri)2 + a2 | tan2 πx + tanh2 πR
::::::::::::::::::::
p141 9 行目
誤：
Res(−a) = lim
z→−a (z 2
zm
zm
= lim
1
′
z→−a 2z + a +
+ (a + a )z + 1)
正：
Res(−a) = lim
z→−a (z 2
=
1
a
zm
zm
= lim
1
′
z→−a 2z + a +
+ (a + a )z + 1)
1
a
(−a)m
2π(−a)m
a
=
1
1 − a2
a −a
=
(−a)m
(−a)m
=
a
1
1 − a2
a −a
p141 11 行目
誤：
J=
1
ia
∫
C
正：
J=
(
1
ia
∫
C
zm
1
1
2π(−a)m
2π(−a)m
)
dz
=
·
2πiRes(−a)
=
·
2πi
·
a
=
ia
ia
1 − a2
1 − a2
z + a1 (z + a)
zm
1
1
(−a)m
2π(−a)m
(
)
dz
=
·
2πiRes(−a)
=
·
2πi
·
a
=
ia
ia
1 − a2
1 − a2
z + a1 (z + a)
p141 脚注 7 行目
誤：より辺々引いて (|z1 | + |z2 |)2 − |z1 + z2 |2 = 2|z1 |z2 | − 2Re(z1 z̄2 ) ≥ 0
誤：より辺々引いて (|z1 | + |z2 |)2 − |z1 + z2 |2 = 2|z1 ||z2 | − 2Re(z1 z̄2 ) ≥ 0
p144 例題の解答
追加前：CR : z = Reiθ , (θ|0 → π), Cε : z = εeiθ , (θ|π → 0) なので、
追加後：C1 : z = x, (x|ε → R), CR : z = Reiθ , (θ|0 → π), Cε : z = εeiθ , (θ|π → 0), C2 : z = x, (x| − R →
−ε) なので、
p144 例題の解答
誤：
∫
IR =
C1 +CR +C2 +Cε
eiz
dz =
z
∫
R
ε
∫
R
=
ε
∫ ε ix
∫
eiz
e
eiz
dz +
dx +
dz
R x
CR z
Cε z
∫
∫
eix − e−ix
eiz
eiz
dx +
dz +
dz
x
CR z
Cε z
eix
dx +
x
∫
正：
∫
IR =
C1 +CR +C2 +Cε
eiz
dz =
z
∫
R
ε
∫
R
=
ε
∫
=
ε
R
eix
dx +
x
ix
∫
CR
∫
eiz
dz +
z
iz
∫
∫
−ε
eix
dx +
x
−R
ε −ix
∫
∫
Cε
eiz
dz
z
e
e
eiz
dz +
dx +
dz
x
CR z
R
Cε z
∫
∫
eix − e−ix
eiz
eiz
dx +
dz +
dz
x
CR z
Cε z
e
dx +
x
5
p144 例題の解答誤：
∫
∫ 0
∫ π
∫ π
eiz
exp(εeiθ ) iθ
ε→0
iθ
dz =
iεe
dθ
=
−i
exp(εe
)dθ
−
−
−
→
−i
dθ = −iπ
εeiθ
Cε z
π
0
0
正：
∫
Cε
eiz
dz =
z
∫
0
π
exp(iεeiθ ) iθ
iεe dθ = −i
εeiθ
∫
π
ε→0
∫
exp(iεeiθ )dθ −−−→ −i
0
π
dθ = −iπ
0
p144 右下の図
誤：R + it
正：R − it
p152 定理 13.1
誤：周期 L の区分的に滑らかな周期関数 f (x) は次のように展開できる。
∞
∑
2πnix
f (x)
=
cn e L
2
n=−∞
正：不連続な点を除いて周期 L の周期関数 f (x) は次のように展開できる。
f (x) =
∞
∑
cn e
2πnix
L
n=−∞
補足：定理 13.1 で言う『区分的に滑らか』であるとは、『有限個の滑らかな（f (x) と f ′ (x) がともに連続な）
曲線にわけられる』ことを言います。
p151
誤：複素フーリエ級数
正：複素フーリエ係数
p152 定理 13.2
誤：区分的に滑らかな周期 L の周期関数 f (x) は次のように展開できる。
∞
∑
2πnix
f (x − 0) + f (x + 0)
=
cn e L
2
n=−∞
正：不連続な点を除いて周期 L の周期関数 f (x) は次のように展開できる。
f (x) =
∞
∑
cn e
2πnix
L
n=−∞
p152 定理 13.2
∫
2πmx
1 L/2
誤：cn =
f (x)e−i L dx
L −L/2
∫
2πnx
1 L/2
正：cn =
f (x)e−i L dx
L −L/2
p153 例題（１つめ）解答
誤：
∫
1 1 −inπx
e
dx
cn =
2
0
1/2
(n = 0)
= 1
1
·
[e−inπx ]10 (n ̸= 0)
2 −inπ
1
(n = 0)
= 21 inπ
e 2 sin inπ
(n ̸= 0)
2
nπ
6
これにより、f (x) は次のようにフーリエ展開できます。
∞
∑
f (x) =
=
cn einπx =
0
∑
n=−∞
n=−∞
∞
∑
c−n e−inπx + c0 +
n=0
=
1
2
=
1
2
cn einπx + c0 +
∞
∑
cn einπx
n=0
∞
∑
cn einπx
n=0
)
∞ (
nπ
∑
inπ(x+1/2)
−inπ(x+1/2) sin 2
+
e
−e
inπ
n=0
(
)
∞
∑
(
1 ) sin nπ
2
+
2 sin nπ x +
■
2
nπ
n=0
正：
∫
1 1 −inπx
e
dx
2 0
1/2
(n = 0)
= 1
1
·
[e−inπx ]10 (n ̸= 0)
2 −inπ
1
(n = 0)
= 21 −inπ
e 2 sin nπ
(n ̸= 0)
2
nπ
cn =
これにより、f (x) は次のようにフーリエ展開できます。
∞
∑
f (x) =
=
n=−∞
∞
∑
cn einπx =
−1
∑
cn einπx + c0 +
n=−∞
c−n e−inπx + c0 +
n=1
∞
∑
∞
∑
cn einπx
n=1
cn einπx
n=1
)
∞ (
nπ
1 ∑ inπ(x−1/2)
−inπ(x−1/2) sin 2
e
−e
= +
2 n=1
nπ
)
(
∞
nπ
(
1 ∑
1 ) sin 2
= +
■
2 cos nπ x −
2 n=1
2
nπ
p153 例題（２つめ）
誤：次の周期 1 の関数 f (x) = x (0 < x ≤ 1) をフーリエ展開せよ。
正：次の周期 1 の関数 f (x) = x (− 12 < x ≤ 21 ) をフーリエ展開せよ。
p153 式 (13.4) の一行目
1
∑
誤：f (x) =
cn e2niπx + · · ·
正：f (x) =
n=−∞
−1
∑
cn e2niπx + · · ·
n=−∞
p153 2 つめの例題の解答
cos(nπ)
誤：cn =
(−1)n−1
(−1)n−1
正：cn =
2inπ
p154 例題の解答
∞
∑
cos nπ
sin 2nπx と展開しているので、
nπ
n=0
∞
∑
(−1)n−1
sin 2nπx と展開しているので、
正：重要な式です。すでに x =
nπ
n=1
誤：重要な式です。すでに x =
7
p156 例題 (2)
境界条件が u(1, θ) = cos2 +1
境界条件が u(1, θ) = 2 cos 2θ
p158
誤：広義パーセルの等式
正：広義パーセバルの等式
p158
誤：…一般的に ⟨fn |fm ⟩ が成り立つ…
正：…一般的に ⟨fn |fm ⟩ = δnm が成り立つ…
p159
⟨
誤：
⟨F |G⟩ =
∑
⟨
⟨F |G⟩ =
∑
n
n
m
n
正：
⟩
∑
∑∑
Gm fm =
Fn fn F n Gn δnm = F n Gn
m
⟩
∑
∑∑
Gm fm =
Fn fn F n Gm ⟨fn |fm ⟩
:::::::
m
n
=δnm
m
=
∑
F n Gn
n
p159 式 (13.5)
誤：
... =
+∞
∑
lim
L→∞,∆u→0
{(
n=−∞,n̸=0
正：
... =
+∞
∑
lim
L→∞,∆u→0
∆u
2π
{(
n=−∞,n̸=0
∫
L
2
L
−2
∆u
2π
∫
L
2
L
−2
f (t)e
−n∆uπix
)
}
−n∆uix
dt e
)
}
f (t)e−n∆uit dt e−n∆uix
p165 例題の解答
誤：
{
F (k) = 2πiRes =
2πiek
2πie−k
(k < 0)
(k > 0)
= 2πie−|k|
正：
{
F (k) = 2πiRes =
πek
πe−k
(k < 0)
(k > 0)
= πe−|k|
p175 定義 15.1 の下
誤：うるさい束り
正：うるさい縛り（or うるさい約束事）
p176 定理 15.1
誤：
正：
L [f (n) (t)] = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f n−1 (0)
L [f (n) (t)] = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f ′ (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0)
8
p186 2 行目
誤：s2 X(s) + k 2 X(t) = L [f ]
正：s2 X(s) + k 2 X(s) = L [f ]
p201 17.2 一次元境界値問題の一行目
誤：G(x, 0) = 0.G(x, a) = 0
正：G(0, x′ ) = 0, G(a, x′ ) = 0
p205
1
4π|r − r ′ |
1
正：G∞ (r, r ′ ) =
4π|r − r ′ |
p212 図の座標（図に与えられた点の座標が逆）
誤：G∞ (r − r ′ ) =
誤：(−x, y, z)
正：(x, −y, z)
誤：(x, −y, z)
正：(−x, y, z)
p214 x − x′ > 0 のとき
誤：
′
G∞
R (x, x )
1
2π
∫
′
+
CR +CR
eiz(x−x )
1
dz −
z 2 + µ2
2π
∫
′
+
CR
′
eiz(x−x )
dz
z 2 + µ2
′
1
e−µ(x−x )
e−µ(x−x )
とし、右辺第一項は留数定理から
× 2πi ×
=π
となり、右辺第二項はジョルダンの
2π
2iµ
µ
π
′
補助定理 (定理 12.3) から R → ∞ で 0 となります。これより G∞ (x, x′ ) = e−µ(x−x ) が得られます。
µ
正：
′
G∞
R (x, x )
1
=
2π
∫
′
+
CR +CR
eiz(x−x )
1
dz −
2
2
z +µ
2π
′
∫
+
CR
′
eiz(x−x )
dz
z 2 + µ2
′
1
e−µ(x−x )
e−µ(x−x )
× 2πi ×
=
となり、右辺第二項はジョルダンの補
2π
2iµ
2µ
1 −µ(x−x′ )
e
が得られます。
助定理 (定理 12.3) から R → ∞ で 0 となります。これより G∞ (x, x′ ) =
2µ
′
p214 x − x < 0 のとき
とし、右辺第一項は留数定理から
誤：
右辺第一項は留数定理から
正：
′
′
1
eµ(x−x )
eµ(x−x )
× (−2πi) ×
=π
となり、
2π
−2iµ
µ
′
′
1
eµ(x−x )
eµ(x−x )
右辺第一項は留数定理から
× (−2πi) ×
=
となり、
2π
−2iµ
2µ
p219
′
eii|x−x |
′
誤：G4 (x, x ) = i
2k
ik|x−x′ |
e
正：G4 (x, x′ ) = i
2k
9
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