(z + 3)2

複素関数論演習問題３略解
(z + 2)2 9
【1】(1) (a) z = 1 は一位の極，Res f1 (1) =
= .
(z + 3)2 z=1 16
d (z + 2)2 2(z + 2)(z + 3) − (z + 2)2 15
(b) z = 1 は二位の極，Res f2 (1) =
.
=
=
2
dz z + 3 z=1
(z + 3)
16
z=1
ez − 1
= e − 1 = 0 より z = 1 は二位の極．
z→1
(z − 1)2
d
ez − 1
= e．
(z − 1)2
Res f3 (1) = lim
z→1 dz
(z − 1)2
(c) lim (z − 1)2
9πi
(2) (a) 円内の極は z = 1， f1 (z)dz = 2πi · Res f1 (1) =
8
C
d (z + 2)2 2(z + 2)(z − 1) − (z + 2)2 7
=
=
(b) 円内の極は z = 1, −3，Res f1 (−3) =
2
dz z − 1 z=−3
(z − 1)
16
z=3
より， f1 (z)dz = 2πi Res f1 (1) + Res f1 (−3) = 2πi.
C
【2】(1) C を原点を中心とする単位円周上の積分路（反時計回り）とする．
2π
z+z−1
dz
dz
cos θ
z2 + 1
2
·
dθ =
=
·
−1
2
z+z
4 cos θ + 5
+ 5 iz
0
C 4·
C 4z + 10z + 4 iz
(A)
2
1
1
被積分関数の極は z = 0, − , −2. 単位円内の極は z = 0, − .
2
2
5
1 1
1
z2 + 1
z 2 + 1 1 =−
·
·
.
= , z = − での留数は
z = 0 での留数は 2
4z + 10z + 4 i z=0 4i
2
4(z + 2) i z=− 1
12i
2
5
3−5
π
1
−
= 2π ·
=− .
よって式 (A) = 2πi
4i 12i
12
3
(2) f (x) =
x2
とおく．f (x) の分母の次数は 4, 分子の次数は 2. この場合，閉曲線 C を下
(x2 + 1)(x2 + 4)
∞
図のように取ると
∞
−∞
−∞
2
f (x)dx = lim
R→∞ C
f (z)dz となる．複素積分を留数を用いて計算すると
z2
z2
+ 2
(z + i)(z 2 + 4) z=i
(z + 1)(z + 2i) z=2i
−4
1
π
−1
+
= 2πi ·
= .
= 2πi
2i × 3 −3 × 4i
6i
3
x
dx = 2πi
2
(x + 1)(x2 + 4)
Im
R
2i
C
i
-R
0
-i
-2i
R
Re
【3】(1) z0 = 0 のまわりのローラン展開の係数を an とすると
1
1
f (ω)
ω+1
dω
an =
dω
=
2πi C (ω − z0 )n+1
2πi C ω n+3 (ω − 1)
ローラン展開の主要部は負冪の部分である．
1
1
ω+1
ω +1
a−2 =
= −1.
dω =
· 2πi ·
2πi C ω(ω − 1)
2πi
ω − 1 ω=0
1
d
ω + 1 1
(ω − 1) − (ω + 1) ω+1
a−1 =
dω =
· 2πi ·
=
= −2.
2πi C ω 2 (ω − 1)
2πi
dω ω − 1 ω=0
(ω − 1)2
ω=0
1
2
− となる．
2
z
z
z
(2) e はすべての z で正則であるので，f2 (z) は z = 0 に二位の極を持つ. z0 = 0 のまわりのローラン展
したがって、f1 (z) のローラン展開の主要部は −
開の係数を an とすると
1
1
f (ω)
ez
an =
dω
=
dω
2πi C (ω − z0 )n+1
2πi C ω n+3
ω
1
e
dω = eω |ω=0 = 1
a−2 =
2πi C ω
ω
1
d ω
e
e |ω=0 = 1
dω =
a−1 =
2
2πi C ω
dω
したがって、f2 (z) のローラン展開の主要部は
1
1
+ となる．
2
z
z

Download Report