数学B演習第3回

数学 B 演習第 3 回
2016 年 7 月 20 日 (水)
担当: 田中冬彦1
問 1.
I 以下の積分を計算しなさい.
I
1 dz
1
dz
(a)
, (|a| 6= 1/6),
(b)
,
2
1 − az 2πi
|z|=1 z − 5z + 6 2πi
I |z|=6
I
1
dz
e−z
dz
(c)
,
(d)
, (0 < |a − b| < 2.)
2
|z|=5/2 z − 5z + 6 2πi
|z−a|=2 (z − a)(z − b) 2πi
問 2 (部分分数展開を用いたローラン展開). 複素関数 f (z) =
を考える.
z2
z
のローラン展開
− 3z + 2
(a) 1 < |z| < 2 で z = 0 のまわりで
1
1
,
をローラン展開しなさい.
z−1 z−2
(b) 1 < |z| < 2 で z = 0 のまわりで
1
をローラン展開しなさい. (ヒント：まず
z 2 − 3z + 2
部分分数展開せよ.)
(c) 1 < |z| < 2 で z = 0 のまわりで f (z) =
z2
z
をローラン展開しなさい.
− 3z + 2
問 3 (ローラン展開と項別微分を利用するもの). 以下の複素関数 f を指示に従ってローラ
ン展開しなさい.
(a) f (z) = 1/z, z = −3 を中心として. (w = z − (−3) とおき |w| < 3 で展開してみよ.)
(b) f (z) = 1/z 2 , z = −3 を中心として. ((a) の無限級数を項別微分してみよ.)
(c) f (z) =
1
, z = −3 を中心として.
+ 3)
z 2 (z
問 4 (初等関数のテイラー展開を用いたローラン展開). 領域 D = C \ {0} で定義されてい
る以下の複素関数について考える. z = 0 のまわりでローラン展開しなさい.
e2z − 1
(a) f (z) =
z2
(b) f (z) =
sin2 z
(ヒント: sin2 z を cos 2z の形にする.)
z2
(c) f (z) = (z 2 − 1)e1/z
問 5 (異なる円環上でのローラン展開). f (z) =
1
1
について以下の問に答えなさい.
z−2
たなかふゆひこ, 基礎工学部 J 棟 J612 号室, [email protected]
1
(a) 0 < |z| < 2 で z = 0 のまわりで f (z) をローラン展開しなさい.
(b) 2 < |z| < ∞ で z = 0 のまわりで f (z) をローラン展開しなさい. (a) の結果と一致す
るか.
問 6 (孤立特異点の分類). 以下の複素関数は z = 0 を孤立特異点にもつ. それぞれ, 極,
正則点, 真性特異点のいずれであるか調べなさい. (極は位数もつけて答えること.) また,
z = 0 における留数を求めなさい.
1
sin z
(a)
(c) (z 2 − 1)e1/z , z 6= 0.
, 0 < |z| < 1. (b) 2 , z 6= 0.
2
z(z + 1)
z
問 7 (ローラン展開を経由しない極の位数の判定).
領域 D = C \{0, α}(α 6= 0 は複素数の定数.) において複素関数
f (z) =
sin(z − α)
z(z − α)3
を考える. ただし, 以下では ² は十分小さい正の定数とする.
g(z)
として g(z) を定義する. このと
(z − α)2
き, g(z) は z = α を正則点にもつことを示せ. (ヒント: たとえば, z = α のまわりで
1/z = 1/α + ((z − α) のべき) などとかけることを利用せよ.)
(a) z = α の近傍, 0 < |z − α| < ² で f (z) =
(b) (a) の結果から, g(z) の 0 < |z − α| < ² でのローラン展開は g(z) = a0 + a1 (z − α) +
a2 (z − α)2 + · · · のようにかける. このことを用いて z = α は f の 2 位の極であること
を示せ. (ヒント: z → α での g の極限値から a0 6= 0 を示せ.)
(c) z = α での留数を求めなさい. (ヒント: k 位の極を持つ時の留数公式を用いよ.)
なお, h(w) =
sin w
について lim h(w) = 1, lim h0 (w) = 0 を用いてよい.
w→0
w→0
w
問 8. 以下の複素積分を求めなさい. ただし, ² は十分小さい正の定数とする. また, 問 6,
7 の結果を用いてよい.
I
dz
(z 2 − 1)e1/z
(a)
2πi
|z|=²
I
sin(z − 1) dz
(b)
3
|z−1|=² z(z − 1) 2πi
I
z
dz
(c)
(ヒント：被積分関数は z = 0 を 1 位の極として持つことを用いて
|z|=² 1 − cos z 2πi
よい.)
URL: http://bayes.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/ftanaka/T/305.html
2

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