演習6 I. (i) 楕円 C = 1z(t) = 2 cost + isint | t は 0 から 2 π までうごく l に

演習６
I. (i) 楕円 C = {z(t) = 2 cos t + i sin t | t は 0 から 2π までうごく } に沿っ
た線積分
∫
2z
dz
2
C z −1
を計算せよ．
(ii) C1 を −1 − i から 2 − i, 2 + i, −1 + i を通って −1 − i にもどる長方形
の辺のなす積分路とする．線積分
∫
2z
dz
2
C1 2z − 3z + 1
の値を求めよ．
II. 原点中心，半径 r の円周 {|z| = r} = {z = reıθ | θは 0 から 2π までう
ごく }（向きは反時計回り）上の線積分
∫
2z + 1
I=
dz
2
|z|=r z + z − 2
を考える．I の値を (i) 0 < r < 1, (ii) 1 < r < 2, (iii) r > 2，それぞれの
場合に求めよ．
III. a, b > 0 に対して楕円 Γ∫ = {z(t) = a cos t + ib sin t | t は 0 から 2π ま
dz
でうごく } を考える。J =
を考える．
Γ z
(i) 線積分の定義通りに J を書き下せ．
(ii) Cauchy の定理などを利用して J の値を求め，(i) の表示と組合わせて
∫ 2π
2π
dt
2 =
2
2
2
ab
a cos t + b sin t
0
を示せ。
IV. 線積分
∫
I=
|z|=1
1(
1 )2n
z+
dz
z
z
1
を計算し、それを利用して、
∫
2π
cos2n θdθ
0
の値を決定せよ。
—————————————————————————
I. 部分分数分解
分路の変更）と
2z
1
1
=
+
と Cauchy の積分定理の応用（積
−1
z+1 z−1
z2
∫
|z−a|=r
特に，
(z − a)n dz =
∫
|z−a|=r
{
0
2πi
(n ̸= −1)
(n = −1)
dz
= 2πi
z−a
を組み合わせて考えて求める； 4πi.
2
1
2z
=
−
(ii) 2
ととかける； 2 × 2πi − 2πi = 2πi.
2z − 3z + 1
z − 2 z − 21
II. 基本的な考え方は I と同様。z 2 + z − 2 = (z + 2)(z − 1) より z = −2
と z = 1 が極になる．(i), (ii), (iii) それぞれの場合にこの 2 点が積分路と
どういう位置関係にあるかに注目し，そこから線積分への零にならない
寄与を読み取ればよい．(i) 極は 2 つとも積分路の外側，(ii) 1 のみが積分
2z + 1
1
1
路の内側，(iii) 極は 2 つとも積分路の内側． 2
=
+
z +z−2
z+2 z−1
であるから (i) I = 0, (ii) 2πi, (iii) 4πi.
∫ 2π
−a sin θ + ib cos θ
III. (i) J =
dθ.
a cos θ + ib sin θ
0
1
(ii) の極は z = 0 のみ．よって J = 2πi = 0 + i2π であるから，(i) の虚
z
部が 2π に等しい（(i) の実部は 0）．
2
( )
(
)2n
∑
1
2n k −2n+k
IV. z +
= 2n
z z
より
k=0
z
k
∫
I=
|z|=1
1
z
( )
(
)2n
∫
2n
∑
1
2n 2k−2n−1
z+
dz =
z
dz
z
k
|z|=1 k=0
2k − 2n − 1 = −1 つまり k = n の項のみが積分に零でなく寄与するので
( )
2n
I = 2πi ·
n
一方，線積分の定義より
∫
2π
2n
cos2n θdθ
I=2 i
0
上の値と比較すればよい．
3

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