(1) x + y + z = 1

年番号
1
4
次の問に答えなさい．
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 の数字を 1 つずつ書いたカードが合計 7 枚ある．この 7 枚のカードの中か
ら 1 枚カードを引き，引いたカードはもとには戻さずにまた次のカードを 1 枚引くというゲーム
1
1
1
+
+
= 1 が成り立つとき，x; y; z のうち少なくとも 1 つは 1 で
x
y
z
あることを証明しなさい．
(1) x + y + z = 1;
をくり返し行う．このとき偶数または奇数の数字のカードが 3 枚出たらその時点でこのゲーム
は終了するものとし，ゲームの終了を決定するその 3 枚のカードを出た順に X; Y; Z とする．
(2) 半径が r，中心角が µ ラジアンの扇形の弧の長さおよび面積を求めなさい．
またゲームが終了する時までに引いたカードの枚数を N とするとき，次の
(3) 338 ; 527 ; 819 の大小を比較しなさい．ただし，log10 2 = 0:3010; log10 3 = 0:4771 とする．
1
∼
10
に適するものを答えなさい．
(4) 2 直線 kx ¡ y + 3k = 0; x + ky ¡ 3 = 0 の交点を P とする．実数 k の値が変化するとき，点
P の軌跡を求めなさい．
氏名
(1) N の取りうる値の最小値は
れ
（長崎県立大学 2008 ）
3
，
4
1
，最大値は
2
で，その 2 つの値を取る確率はそれぞ
である．
(2) X; Y; Z の 3 枚のカードの数字が，順に大きくなっていく確率 p を求める．このうち特に
N=
2
関数 f(x) が等式 f(x) = x2 +
1
2
Z
1
0
6
f(t) dt を満たすとき，次の問に答えなさい．
1
となるカードの引き方は
通り，N =
5
通りある．残りの場合も含めると，求める確率は p =
2
となるカードの引き方は
7
となる．
(3) X; Y; Z の 3 枚のカードのうち，少なくとも 2 枚のカードが続けて出る事象の確率 q を求め
(1) 関数 f(x) を求めなさい．
る．まずこの事象の余事象「 X; Y; Z の 3 枚のカードが 1 度も続けて出ない」について考える
(2) 関数 f(x) に接する接線のうち，原点を通るものを求めなさい．
と，X; Y; Z の数字が偶数である場合は
(3) (2) で求めた接線と関数 f(x) で囲まれる図形の面積を求めなさい．
よって求める確率は q =
10
8
通り，奇数である場合は
9
通りある．
となる．
（長崎県立大学 2008 ）
（長崎県立大学 2008 ）
3
関数 f(x) = ¡
1 3
1
x + x2 + x について，次の問に答えなさい．
9
3
5
(1) 関数 f(x) の極値を求め，グラフの概形をかきなさい．
次の命題について証明しなさい．
(1) 整数 m; n の少なくとも 1 つが偶数ならば，積 mn は偶数である．
(2) f(x) = a として得られる方程式が異なる 2 つの実数解をもつとき，定数 a の値を求めなさい．
(3) f(x) = a として得られる方程式が異なる 2 つの正の解と 1 つの負の解をもつように，定数 a
の範囲を求めなさい．
(2) 整数 m; n について m2 + n 2 が 3 の倍数であるならば，m; n の少なくとも 1 つは 3 の倍数で
ある．
(3) 自然数 a; b; c が a2 + b2 = c2 を満たすならば，a + b > c である．
（長崎県立大学 2008 ）
（長崎県立大学 2008 ）
6
2 つの数列 fan g と fbn g がある．数列 fan g は an = bn+1 ¡ bn + nk ¡ 3（ k は実数，n =
1; 2; 3; Ý ）の条件式を満たし，数列 fbn g は数列 fan g の階差数列であるとする．また，数列
fan g の初項から第 3 項までの和と数列 fbn g の初項から第 3 項までの和とが等しくなる．a1 = 1，
b1 = 4 であるとき次の問に答えなさい．
(1) k の値を求めなさい．
(2) 数列 fbn g の一般項を求めなさい．
(3) 数列 fan g の一般項を求めなさい．
（長崎県立大学 2008 ）

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