n = 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
3
数列 fan g; fbn g; fcn g を
a1 = 2;
an+1 = 4an
b1 = 3;
bn+1 = bn + 2an
cn
cn+1 =
+ an + bn
4
c1 = 4;
氏名
r を 0 < r < 1 をみたす定数とする．数列 fan g に対して
Sn =
n
P
(¡1)k¡1 rak
k=1
(n = 1; 2; 3; Ý)
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数 x に対して，[x] は l 5 x < l + 1 をみたす
整数 l を表す．
と順に定める．放物線 y = an x2 + 2bn x + cn を Hn とする．
n
— で定めるとき，S2n を r と n の式で表せ．
2
n
(2) 数列 fan g を an = — で定めるとき，S3n を r と n の式で表せ．
3
(3) a1 = 0，an 5 an+1 5 an + 1 (n = 1; 2; 3; Ý) および S2014 = 0 をみたす数列 fan g のうち，
2014
P ak
r を最小にする数列 fan g の第 2014 項を求め，そのときの最小値を r の式で表せ．
(1) 数列 fan g を an = (1) Hn は x 軸と 2 点で交わることを示せ．
n
P
(2) Hn と x 軸の交点を Pn ; Qn とする．
Pk Qk を求めよ．
k=1
（一橋大学 2007 ）
k=1
（横浜国立大学 2014 ）
2
4
数列 fan g は
a1 = 5;
a1 2 + a2 2 + Ý + an 2 =
2
a a
3 n n+1
次の問いに答えよ．
(1) k を 0 以上の整数とするとき，
(n = 1; 2; 3; Ý)
y
x
+
5k
3
2
をみたすとする．次の問いに答えよ．
を満たす 0 以上の整数 x; y の組 (x; y) の個数を ak とする．ak を k の式で表せ．
(1) a2 ; a3 を求めよ．
(2) n を 0 以上の整数とするとき，
(2) an+2 を an ; an+1 を用いて表せ．
y
x
+
+z5k
3
2
(3) 一般項 an を求めよ．
（横浜国立大学 2016 ）
を満たす 0 以上の整数 x; y; z の組 (x; y; z) の個数を bn とする．bn を n の式で表せ．
（横浜国立大学 2012 ）
5
7
数列 fan g を
a1 =
1
; an+1 = 1 ¡ a2n
2
数列 fan g は
a1 =
(n = 1; 2; 3; Ý)
1
;
6
1
1
¡
=2
an+1
an
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たしている．また数列 fbn g は
で定める．次の問いに答えよ．
1
3
;
5 a2n < 1 (n = 1; 2; 3; Ý) であることを示せ．
2
4
1
(2) x が 0 5 x 5
の範囲を動くとき，関数 f(x) = 2x ¡ x3 のとる値の範囲を求めよ．
2
a2n+1
7
5
(n = 1; 2; 3; Ý) であることを示せ．
(3)
a2n¡1
8
(1) 0 < a2n¡1 5
（横浜国立大学 2008 ）
b1 = 8a1 a2 ; bn+1 ¡ bn = 8an+1 an+2
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列 fan g の一般項 an を n を用いて表せ．
(2) 数列 fbn g の一般項 bn を n を用いて表せ．
（新潟大学 2009 ）
6
8
k を自然数とするとき，
¡¼ < µ < ¼ とするとき，次の条件によって定められる数列 fan g がある．
µ
; an+1 =
a1 = cos
2
x<y<k<x+y
をみたす自然数の組 (x; y) の個数を ak とする．次の問いに答えよ．
F
1 + an
2
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，次の問いに答えよ．
µ
(n = 1; 2; 3; Ý) が成り立つことを証明せよ．
2n
µ
µ
µ
µ
µ
£ cos 2 £ cos 3 £ Ý £ cos n = sin µ
(2) 2n £ sin n £ cos
2
2
2
2
2
成り立つことを証明せよ．
(1) a7 ; a8 を求めよ．
(1) an = cos
(2) n を自然数とするとき，a2n¡1 ; a2n を n の式で表せ．
2n
P
(3) n を自然数とするとき，
ak を n の式で表せ．
k=1
（横浜国立大学 2007 ）
(3) bn = a1 £ a2 £ a3 £ Ý £ an
(n = 1; 2; 3; Ý) が
(n = 1; 2; 3; Ý) とおく．µ Ë 0 のとき， lim bn を µ を用い
n!1
て表せ．
（新潟大学 2009 ）
9
11 数列 fan g が
数列 fan g を
V
p
a1 = 2 2;
an > 0;
1
n
a1 a2
1
n
1
n
Ý an¡1 an
2
n
a1 + 2a2 + 3a3 + Ý + nan = 2n ¡ 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
(n = 2)
=8
をみたしている．次の問いに答えよ．
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1) 一般項 an を求めよ．
n
P
1
(2) Sn =
とおくとき，
a
k
k=1
(1) bn = log2 an とおくとき，数列 fbn g の一般項を求めよ．
(2) cn = a1 a2 Ýan とおくとき，数列 fcn g の一般項を求めよ．
(3) 10k 5 c11 < 10k+1 となる整数 k を求めよ．ただし，log10 2 = 0:3010 とする．
（富山大学 2015 ）
Sn = 4 ¡
n+2
2n¡1
(n = 1; 2; 3; Ý)
となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
n
P
k
(3) 和
を求めよ．
a
k
k=1
（金沢大学 2014 ）
10 次の問いに答えよ．
(1) 不定積分
Z
x log(1 + x) dx を求めよ．
(2) 数列 fan g を
1
2
3
n
n + n n2
n + 1 n2 n + 2 n2 n + 3 n2
; #
; #
; Ý#
;
an = #
n
n
n
n
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定義するとき， lim an を求めよ．
n!1
（富山大学 2008 ）
12 次の問いに答えよ．
13 次の問いに答えよ．
(1) x > 0 のとき，不等式
きか．
1
2
1
#x + 2 ; = 2 3 を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなと
3
x
B
p
lim ( xn + n ¡ n) = a
n!1
(2) 数列 fan g を
a1 = 2; an+1
2
1
%an + 2 =
=
3
an
xn
を満たすとする．このとき， lim p = 2a が成り立つことを示せ．
n!1
n
(2) 自然数 L; n に対して
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．
B
(a) n = 1 のとき
B
B
L
p
1 P
p 1
< L+n¡ n
L+n+1¡ n+1<
2 k=1 k + n
が成り立つことを示せ．
1
an > an+1 > 2 3
(3) b は定数で，b > 1 とする．自然数 n に対して，集合
¯
L
P
¯
p 1
UL ¯ L は
< b を満たす自然数m
k+n
k=1
を示せ．
(b) n = 2 のとき
an+1 ¡
(1) a を定数とし，正の数からなる数列 fxn g は
Ln
の要素の個数を Ln とする．このとき， lim p = b が成り立つことを示せ．
n!1
n
2
2
2
%an ¡ 2 =
<
3
a2n
an¡1
（金沢大学 2008 ）
を示せ．
(c) n = 1 のとき
0 < an+1 ¡
2
2 n¡1
2 5# 3 ;
an
14 次の問いに答えよ．
(1) 条件 x1 = 1; xn+1 = xn + 2n (n = 1; 2; 3; Ý) によって定められる数列 fxn g の一般項を
を示せ．
求めよ．
（金沢大学 2009 ）
4
1
4
3
;
=
+
(n = 1; 2; 3; Ý) によって定められる数列 fyn g の一般
3
yn+1
yn
4
項を求めよ．
(2) 条件 y1 =
(3) fxn g; fyn g をそれぞれ (1)，(2) の数列とする．
¡
!
¡
!
xn
1
16
1
< が垂直であるときの正の整
2 つのベクトル an = $16 ¡
;
¡ 1< ; bn = $
;
xn
xn
4
yn
数 n の値を求めよ．
（金沢大学 2006 ）

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