1 関数 f(x) = xe (1)

1
関数 f(x) = xex について，次の問いに答えよ．
2
r を正の実数とする．数列 fan g を
(1) 関数 y = f(x) について，増減および凹凸を
an =
調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば
lim xex = 0 を用いてもよい．
Z
Z
(2) 不定積分
xex dx， x2 e2x dx をそれぞれ
(3) 0 5 t 5 1 に対し g(x) = f(x) ¡ f(t) とおく．
0 5 x 5 1 の範囲で，曲線 y = g(x) と x 軸で
n¼
0
e¡rx sin x dx (n = 1; 2; 3; Ý)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
x!¡1
求めよ．
Z
(1) an+1 ¡ an を求めよ．
(2) fan g の一般項を求めよ．
(3) lim an を r を用いて表せ．
n!1
(4) (3) で求めた r の式を f(r) とおく． lim rf(r)
r!+0
はさまれる部分を，x 軸のまわりに 1 回転して
を求めよ．
できる回転体の体積を V(t) とする．V(t) を求
（熊本大学 2015 ）
めよ．
(4) (3) の V(t) が最小値をとるときの t の値を a と
する．最小値 V(a) と，f(a) の値を求めよ．た
だし，a の値を求める必要はない．
（金沢大学 2015 ）
3
次の条件によって定められる数列 fan g について，
以下の問に答えよ．
a1 =
1
;
2
an+1 =
8an ¡ 1
25an ¡ 2
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) a2 ; a3 ; a4 ; a5 を求めよ．
(2) (1) の結果に基づいて，一般項 an を推測せよ．
また，その推測が正しいことを証明せよ．
（信州大学 2012 ）
4
等差数列 fan g は a9 = ¡5; a13 = 6 を満たすと
する．このとき，次の問いに答えよ．
6 （新課程履修者）複素数平面上に原点 O(0) と点
p
A(1 + 3i) がある．ただし，i を虚数単位とす
る．このとき，次の問に答えよ．
(1) 一般項 an を求めよ．
(2) an が正となる最小の n を求めよ．
(3) 第 1 項から第 n 項までの和 Sn を求めよ．
(4) Sn が正となる最小の n を求めよ．
（高知大学 2010 ）
p
(1) 複素数 1 + 3i を極形式で表せ．ただし，偏角
µ は 0 5 µ < 2¼ とする．
(2) 点 A を原点のまわりに ¡
¼
だけ回転した点を
3
表す複素数を求めよ．
(3) 虚軸上の点 B(z) が OB = AB を満たすとき，
複素数 z を求めよ．
(4) (3) で求めた B(z) に対して，3 点 O，A，B を
通る円の中心を表す複素数を求めよ．
（香川大学 2015 ）
5
次の漸化式で定義される数列 an (n = 1; 2; Ý)
について，次の問いに答えよ．
a1 = 0;
a2 = 1;
an+2 ¡5an+1 +6an = 0
(1) 数列 bn ; cn を bn = an+1 ¡ 2an ; cn = an+1 ¡
3an と定義するとき，bn ; cn の満たす漸化式を
求めよ．
(2) 数列 bn ; cn の一般項を求めよ．
(3) 数列 an の一般項を求めよ．
（東北学院大学 2012 ）

Download Report