2 a1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC に，図のように正方形 S1 ，S2 ，S3 ，Ý を順に内接させるものとする．
(1) 正方形 S1 の 1 辺の長さを求めよ．
(2) n 番目の正方形 Sn の面積 sn を求めよ．
(3) これらの正方形の面積の総和
s = s1 + s2 + Ý + sn + Ý
を求めよ．
（日本女子大学 2014 ）
2
a1 = ¡
1
1
1
，an+1 =
a + n
2
2 n
3
(n = 1; 2; 3; Ý) で定められた数列 fan g について，次の問いに答
えよ．
k
1
b を満たすとき，定数 k の値を求めよ．
で定まる数列 fbn g が bn+1 =
3n
2 n
(2) (1) で求めた k に対して，一般項 bn を求めよ．
1
P
(3) 一般項 an と
an を求めよ．
(1) bn = an +
n=1
（神奈川大学 2014 ）
3
数列 fan g を次のように定める．
a1 = 1;
a2 = 4;
an+2 = ¡an+1 + 12an
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) bn = an+1 ¡ 3an (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．数列 fbn g の一般項を求めよ．
(2) cn = an+1 + 4an (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．数列 fcn g の一般項を求めよ．
an+1
を求めよ．
(3) 極限値 lim
n!1 an
（愛媛大学 2013 ）
4
半径 1 の球を O1 とし，球 O1 に内接する立方体を B1 とする．次に立方体 B1 に内接する球を O2 とし，球 O2
に内接する立方体を B2 とする．以下この操作を繰り返してできる球を On ，立方体を Bn (n = 3; 4; Ý)
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 立方体 B1 の 1 辺の長さ l1 を求めよ．
(2) 球 On の半径 rn を n を用いて表せ．
(3) 球 On の体積を Vn とし，Sk = V1 + V2 + Ý + Vk とするとき， lim Sk を求めよ．
k!1
（島根大学 2011 ）
5
xy 平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．
(1) 図のように x 軸の正の部分と 30± の角をなす直線上に n 個の点（ A1 ; A2 ; Ý; An ）を以下の規則で配置
する．このときの An の座標を n を用いて表せ．また n ! 1 の場合における An の座標を求めよ．
¡¡!
（規則） jOA1 j = 2;
¡¡¡!
1 ¡¡!
A1 A2 =
OA1 ;
2
¡¡¡¡!
1 ¡¡¡¡¡¡!
An¡1 An =
A A
2 n¡2 n¡1
(2) 今度は n 個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．
このとき n ! 1 の場合における An の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うも
のとする．
¡¡!
（規則） jOA1 j = 2;
¡¡¡!
1 ¡¡!
jOA1 j;
j A1 A2 j =
2
¡¡¡¡!
1 ¡¡¡¡¡¡!
jAn¡1 An j =
jA A j
2 n¡2 n¡1
（豊橋技術科学大学 2012 ）

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