年 番号 1 氏名 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC に,図のように正方形 S1 ,S2 ,S3 ,Ý を順に内接させるものとする. (1) 正方形 S1 の 1 辺の長さを求めよ. (2) n 番目の正方形 Sn の面積 sn を求めよ. (3) これらの正方形の面積の総和 s = s1 + s2 + Ý + sn + Ý を求めよ. ( 日本女子大学 2014 ) 2 a1 = ¡ 1 1 1 ,an+1 = a + n 2 2 n 3 (n = 1; 2; 3; Ý) で定められた数列 fan g について,次の問いに答 えよ. k 1 b を満たすとき,定数 k の値を求めよ. で定まる数列 fbn g が bn+1 = 3n 2 n (2) (1) で求めた k に対して,一般項 bn を求めよ. 1 P (3) 一般項 an と an を求めよ. (1) bn = an + n=1 ( 神奈川大学 2014 ) 3 数列 fan g を次のように定める. a1 = 1; a2 = 4; an+2 = ¡an+1 + 12an (n = 1; 2; 3; Ý) (1) bn = an+1 ¡ 3an (n = 1; 2; 3; Ý) とおく.数列 fbn g の一般項を求めよ. (2) cn = an+1 + 4an (n = 1; 2; 3; Ý) とおく.数列 fcn g の一般項を求めよ. an+1 を求めよ. (3) 極限値 lim n!1 an ( 愛媛大学 2013 ) 4 半径 1 の球を O1 とし,球 O1 に内接する立方体を B1 とする.次に立方体 B1 に内接する球を O2 とし,球 O2 に内接する立方体を B2 とする.以下この操作を繰り返してできる球を On ,立方体を Bn (n = 3; 4; Ý) とする.このとき,次の問いに答えよ. (1) 立方体 B1 の 1 辺の長さ l1 を求めよ. (2) 球 On の半径 rn を n を用いて表せ. (3) 球 On の体積を Vn とし,Sk = V1 + V2 + Ý + Vk とするとき, lim Sk を求めよ. k!1 ( 島根大学 2011 ) 5 xy 平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ. (1) 図のように x 軸の正の部分と 30± の角をなす直線上に n 個の点( A1 ; A2 ; Ý; An )を以下の規則で配置 する.このときの An の座標を n を用いて表せ.また n ! 1 の場合における An の座標を求めよ. ¡¡! ( 規則) jOA1 j = 2; ¡¡¡! 1 ¡¡! A1 A2 = OA1 ; 2 ¡¡¡¡! 1 ¡¡¡¡¡¡! An¡1 An = A A 2 n¡2 n¡1 (2) 今度は n 個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する.各線分は隣り合う線分と直角をなす. このとき n ! 1 の場合における An の座標を求めよ.ただし,各線分の長さの関係は以下の規則に従うも のとする. ¡¡! ( 規則) jOA1 j = 2; ¡¡¡! 1 ¡¡! jOA1 j; j A1 A2 j = 2 ¡¡¡¡! 1 ¡¡¡¡¡¡! jAn¡1 An j = jA A j 2 n¡2 n¡1 ( 豊橋技術科学大学 2012 )
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