1 2 log2 3 - SUUGAKU.JP

1
数列 fan g を初項 5 log2 3，公差 ¡
1
1
log2 3 ¡
の等差数列とする．
2
2
このとき，
(1) a10 =
ア
log2 3 ¡
イ
ウ
エ
;
a11 = ¡
オ
このとき，2013 を第 n 群の m 番目の奇数とすると，(n; m) =
(2) 数列 fbn g を
であり，2013 が属する第 n 群の奇数の総和は
と定めると，これは初項
カ
である．
（福岡大学 2012 ）
(n = 1; 2; 3; Ý)
C
キ
ク
，公比
ケ
コ
の等比
数列となる．
(3) 数列 fan g はある n より先は負となる．an が負となる最初の n は
サ
奇数の列を，次のように第 1 群，第 2 群，第 3 群，Ý に分ける．
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1; ¯ 3; 5; 7; ¯ 9; 11; 13; 15; 17; ¯ Ý
である．
bn = 2an
2
である．
（東京理科大学 2015 ）
3
4 で割って 3 余る自然数を図のように並べ，上から 1 段目，2 段目，3
段目，Ý とする．このとき，次の問に答えよ．
1 段目
2 段目
3 段目
4 段目
：
4
自然数 a に対して
S(a) =
7
a
P
k=1
15
19 23 27
31 35 39 43
ÝÝÝÝÝÝ
p
1 p
k+1+ k
11
とおく．以下の問いに答えよ．
(1) 和 S(a) を求めよ．
(2) S(a) が整数となる自然数 a を小さい順に並べた数列を
(1) 6 段目の左から 4 個目にある自然数を求めよ．
(2) n 段目の左端の自然数を an とする．an を n の式で表せ．
(3) 2015 は何段目の左から何個目にあるか答えよ．
a1 ; a2 ; a3 ; Ý; an ; Ý
とする．一般項 an を求めよ．
(4) n 段目に並んでいる自然数の総和を Sn とする．Sn を n の式で表せ．
（立教大学 2015 ）
(3) (2) の数列 fan g について，an (n = 1; 2; 3; Ý) を 4 で割った余
りは 0 か 3 であることを示せ．
(4) (2) の数列 fan g と自然数 N に対して和
N
P
1
を求めよ．
a
n
n=1
（熊本大学 2016 ）
5
座標平面上の点 (a; b) で a と b のどちらも整数となるものを格子点
と呼ぶ．y = 3x2 ¡ 6x で表される放物線を C とする．n を自然数と
2
し，C 上の点 P(n; 3n ¡ 6n) をとる．原点を O(0; 0) とする．C と
線分 OP で囲まれる図形を D とする．ただし，D は境界を含むとす
6
2 つの数列 fan g; fbn g を次のように定める．
a1 = 1;
b1 = 2;
an+1 = 2an + bn ;
2bn+1 = an + 3bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，次の問に答えよ．
る．0 5 k 5 n をみたす整数 k に対して，直線 x = k 上にあり D
に含まれる格子点の個数を f(k) とする．このとき，以下の問いに答
(1) cn = an + bn とおくとき，cn+1 と cn の関係式を求めよ．
(2) cn を n を用いて表せ．
えよ．
(3) an ; bn をそれぞれ n を用いて表せ．
(1) f(k) を求めよ．
（香川大学 2016 ）
(2) D に含まれる格子点の総数を求めよ．
(3) f(k) が最大になるような k を求めよ．
（北海道大学 2009 ）
7
8
次の条件によって定められる数列 fan g; fbn g がある．
a1 = 1;
b1 = 2;
an+1 = an + 4bn ;
12 ; 12 + 32 ; 12 + 32 + 52 ; Ý; 12 + 32 + 52 + Ý + (2n ¡ 1)2 ; Ý
bn+1 = an ¡ 2bn
また，数列 fbn g を以下のように定める．
(1) 数列 fan + bn g; fan ¡ 4bn g の一般項について，
an + bn =
ヘ
an ¡ 4bn = ¡
¢
ホ
マ
(¡
n¡1
22 ; 22 + 42 ; 22 + 42 + 62 ; Ý; 22 + 42 + 62 + Ý + (2n)2 ; Ý
;
n¡1
)
ミ
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，n は自然数とする．
が成り立つ．
(1) 数列 fan g の第 n 項を n を用いて表せ．
(2) 数列 fan g の一般項について，
an =
ム
メ
¢
モ
(2) 数列 fan ¡ bn g の第 n 項を n を用いて表せ．
n¡1
¡
ヨ
ヤ
¢ (¡
ユ
n¡1
)
（鳥取大学 2016 ）
(3) 数列 fan g の漸化式について，
ラ
(3) cn = an+1 ¡ bn とおくとき，cn > 100(n + 1) となる最小の n を求
めよ．
が成り立つ．
an+2 +
数列 fan g を以下のように定める．
an+1 ¡
リ
an = 0
が成り立つ．
（山口東京理科大学 2016 ）
9
10 正の整数からなる数列 fan g が n = 1; 2; 3; Ý に対して
次の問に答えよ．
(1) 数列 fan g を
a1 = 2;
an+1 = 5an ¡ 4
(n = 1; 2; 3; Ý)
n$
1
1
< < 2;
+
an
an+1
2+
1
1
1
<
< (n + 1) $
+
an+1
an
an+1
を満たし，かつ a2 = 2 とする．このとき，次の問に答えよ．
と定める．数列 fan g の一般項を求めよ．
bn+1
n!
を n を用いて
(2) bn =
(n = 1; 2; 3; Ý) と定める．
an ¡ 1
bn
表せ．
(3) bn を最小とするような n の値をすべて求めよ．
（津田塾大学 2013 ）
(1) a1 を求めよ．
(2) a3 を求めよ．
(3) 一般項 an を推定し，それが正しいことを証明せよ．
n
P
1 p
p
(4)
を求めよ．
a
k+1 + ak
k=1
（山形大学 2012 ）

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